Encontrar la distribución única de una variable aleatoria conociendo los momentos de la variable aleatoria

Question

Este problema proviene de 'An Intermediate Course in Probability' de Allan Gut, pero no puedo resolver el problema.

La variable aleatoria $X$ tiene la propiedad de que $$EX^{n}=\frac{2^{n}}{n+1}, \quad n = 1,2, ...$$

Encuentre alguna (de hecho, la única) distribución de X que tenga estos momentos.

Sé que la función generadora de momentos (MGF) puede expresarse como $$\psi_{X}(t)= E\, e^{tX} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}EX^{k}.$$

He intentado utilizar esta expresión para encontrar una expresión del MGF que pueda utilizar para identificar la distribución:

$$\psi_{X}(t) = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{2^{k}}{k+1} = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(2t)^{k}}{k!(k+1)}$$ $$ = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(2t)^{k+1}}{2t(k+1)!} = 1 + \frac{1}{2t}\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2t)^{k}}{k!} = 1+\frac{1}{2t}e^{2t}$$

Pero esto no es un MGF que reconozca, así que no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Sugerencia: deje que $Y=X/2$ Entonces $\mathbb E\left[Y^n\right]=1/(n+1)$ que es la integral de $y\mapsto y^n$ en un intervalo que te dejo encontrar.

Answer 2

Tuviste un error en el cálculo de la función generadora de momentos, al reindexar la suma. De hecho, $$ 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2t)^{k+1}}{2t(k+1)!}=1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(2t)^{k}}{2tk!}=1+\frac{e^{2t}-2t-1}{2t}, $$ que es diferente a lo que escribiste (tenías la suma a partir de $0$ y no en $2$ ). Simplificando esta expresión se obtiene $$ \mathbb Ee^{tX}=\frac{e^{2t}-1}{2t}, $$ que puedes reconocer como la función generadora de momentos de la distribución uniforme en el intervalo $[0,2]$ .