¿Cómo ayudan las categorías de modelos a localizar las equivalencias débiles?

Question

Estoy interesado en las localizaciones de las categorías con la debilidad de equivalencias y, en particular, en las localizaciones de categorías de modelo en su débil equivalencias.

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría con la debilidad de equivalencias. En esta nota (página cuatro), David Blanco explica cómo en el intento de definir los morfismos en la categoría construida por formalmente la inversión débil de equivalencias (es decir, la localización en la débil equivalencias), obtenemos que el morfismos entre dos objetos son "zig-zag" de morfismos en $\mathcal{C}$. Blanco, a continuación, escribe que para cualquier par de objetos de $X Y$ de $\mathcal{C}$, estos morfismos no necesariamente forman un conjunto, incluso cuando $\mathcal{C}$ es la categoría de $\mathbf{Set}$, forman una clase adecuada.

Él entonces dice lo siguiente

Tratando de conseguir alrededor de este conjunto teórico de las cuestiones que conduce a las categorías de modelo.

Estoy interesado en cómo uno se la lleva a la idea de un modelo de la categoría, como el Blanco, explica, y también (en general la misma pregunta) cómo la estructura de un modelo de la categoría de realidad resuelve este problema.

Answer 1

El problema es que la localización $\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}[\mathcal{W}^{-1}]$ no es en general calculable ya sea a la izquierda o derecha de la fracción, pero es una mezcla de ambos. Esta última frase es más o menos citado en la introducción de Quillens Homotopical Álgebra.

No puedo hacer todos los defintions en este post, así que si no has visto estos términos antes de que yo sugeriría Borceaux del Manual de Categórico Álgebra Vol I: Categoría Básica de la Teoría, $\S$ 5, para los detalles. También podría tratar de Gabriel y Zismann del Cálculo de Fracciones y Homotopy Teoría, que se Quillen del libro de referencia para la teoría original.

El punto es que, dada la débil equivalencias $\mathcal{W}$ te llevan naturalmente a buscar ciertos reflexivo subcategorías $\mathcal{C}'\subseteq\mathcal{C}$ para el que la localización $\mathcal{C}'\rightarrow \mathcal{C}'[(\mathcal{W}\cap\mathcal{C}')^{-1}]$ es calculable por cualquiera de izquierda o de derecha-fracciones. Estos son sus subcategorías de cofibrant y fibrant objetos, respectivamente. El hecho de que estas localizaciones son calculables por la izquierda o a la derecha-fracciones significa exactamente que el resultado de la localización es un local pequeño de la categoría.

Entonces la idea de la completa estructura del modelo en este punto es ahora para garantizar que la inducida por los mapas de $ \mathcal{C}'[(\mathcal{W}\cap\mathcal{C}')^{-1}]\rightarrow\mathcal{C}[\mathcal{W}^{-1}]$ resultado en una equivalencia de categorías. Esto es exactamente Quillen del Teorema 1 en su libro. Una vez que usted entienda de Borceaux lo que está pasando, que ha sido la factorización de los sistemas requeridos por el modelo de estructura que han desempeñado un destacado papel en el resultado. Claramente la estructura completa de un modelo de la categoría es poco más que un marco para hacer estos gadgets de trabajo.

Por último voy a dar mi propia opinión, que no estoy seguro de que el conjunto de la teoría de cuestiones llevará directamente a la estructura completa de un modelo de la categoría. Más bien, lo que Quillen la teoría siempre fue una solución elegante al problema, que aunque puede parecer demasiado altamente estructurado para que sea relevante, que está disponible en la mayoría de los casos de interés.

Me permito sugerir la lectura de Dwyer , Kan, Hirschhorn y Smith monografía Homotopy Límite de Functors en Categorías de Modelo y Homotopical Categorías para su (experto) reflexiones sobre el problema desde una perspectiva más general de categorías de modelo.