polinomio desconocido dividido por$x^2(x-1)$, encuentra el resto.

Question

Me tomó un examen hoy y hay un problema de pegado en mi cabeza, yo todavía no puedo entender todavía.

He aquí la pregunta (sólo el concepto como yo no puede recordar con precisión).

Un desconocido polinomio dividido por $(x-1)^2$ deja el resto de $x + 3$ (no estoy seguro acerca de la cantidad) y cuando este polinomio se divide por $x^2 $, deja a $2x + 4$ (de nuevo, no estoy seguro acerca de la cantidad). A partir de las condiciones dadas, si este polinomio se divide por $(x-1)x^2$, lo que sería el resto?

La solución que encontré es este:

en primer lugar, de la división de $(x-1)^2$, tengo que $f(1) = 3$ de la misma manera a partir de la división de $x^2$, conseguí $f(0) = 4.$

Puedo escribir el polinomio de la siguiente manera:

$f(x) = (x-1)(x)(x) g(x) + ax^2 +bx +c$

$ax^2 + bx + c$ es el resto. Y para encontrar a $a,b,c$, puedo usar las condiciones anteriores, así que me metí $c = 4$ sustituyendo $x = 0,$ y conseguí $a+b+4 = 3$ sustituyendo $x = 1.$

Esto deja a $a + b = -1,$ y yo no puedo entender cómo continuar, por favor ayuda.

Edit : he cometido un error $f(1)$ debe ser igual a $4$ e $a+b+c = 4$

Answer 1

Tenemos

$$f(x)=(x-1)^2q_1(x)+x+3$$

$$f'(x)=2(x-1)q_1(x)+(x-1)^2q_1'(x)+1$$

Donde por $x=1$ tenemos $f(1)=4$ e $f'(1)=1$

Luego de

$$f(x)=x^2q_2(x)+2x+4$$ $$f'(x)=2xq_2(x)+x^2q_2'(x)+2$$

Donde por $x=0$ tenemos $f(0)=4$ e $f'(0)=2$

Ahora, desde la $$f(x)=x^2(x-1)q_3(x)+ax^2+bx+c$$ y

$$f'(x)=x^2q_3(x)+2x(x-1)q_3(x)+(x-1)x^2q_3'(x)+2ax+b$$

Cuando sustituimos los valores de $x=0$ e $x=1$ en $f$ e $f'$ tenemos

$f(0)=c=4$ e $f(1)=a+b+4=4$ $$a+b=0$$

$f'(0)=b=2$ a partir de esto, hemos $a=-2$. Por lo tanto el resto es $r(x)=-2x^2+2x+4$

Answer 2

$\ f = \color{#0a0}{3+x + q\cdot (x\!-\!1)^2}\ $ por hipótesis, y también por hipótesis tenemos

$\ f = 4\!+\!2x + \color{#c00}g\cdot x^2.\, $ Puesto $\,\color{#c00}{g = a} + \color{#89c}{(x\!-\!1)\,h}\,\ $ ($=$ división de $\,g\,$ por $x\!-\!1)\ $ así

$\bbox[6px,border:1px solid #c00]{ f = 4\!+\!2x + \color{#c00}a\cdot x^2 + x^2\color{#89c}{(x\!-\!1)\,h}}\, =\, \color{#0a0}{3\!+\!x + q\cdot (x\!-\!1)^2} $

Eval ed en $\,x=1\:\Rightarrow\: 4+2+\color{#c00}a+\color{#89c}0\: =\, \color{#0a0}{3\!+\!1 +0}\ $ lo $\ \bbox[6px,border:1px solid #c00]{\color{#c00}{a = -2}}\ \ $ QED

Comentario $ $ Si usted sabe (Fácil) de la CRT , a continuación, inmediatamente se produce el resultado general de la siguiente

$\begin{align}&f\equiv \color{#c00}a\!\!\!\pmod{\!\color{#c00}g}\\ &f\equiv\color{#0a0}b\!\!\!\pmod{\!x\!-\!1}\end{align}\!\!\!\!\iff\!\! f \equiv a\! +\! g\left[ \dfrac{b\!-\!a}g\bmod x\!-\!1\right]\equiv \color{}a\! +\! \left[ \color{#c00}{\dfrac{\color{#0a0}{b(1)}\!-\!a(1)}{g(1)}}\right] g\ \pmod{(x\!-\!1)g}$

$\begin{align}&f\,\equiv\, \color{#c00}{4+2x}\!\pmod{\!x^2}\\ &f\,\equiv\,\color{#0a0}{3\,+\,x} \pmod{\!x-1}\end{align}\ \ \ \iff\ \ \ \ f\ \equiv\ \color{}{4 + 2x} \ +\ \ \underbrace{\left[\color{#c00}{\dfrac{\color{#0a0}{3\!+\!1}\!-\!(4\!+\!2)}{1^2} }\right]}_{\Large -2\ \ \ }x^2 \pmod{(x\!-\!1)x^2}$

El cálculo es fácil, debido a que elegimos $\,x\!-\!1\,$ (vs $x^2)\,$ el modulo en la fórmula, lo cual simplifica el mod de la aritmética desde $\,f(x)\bmod x\!-\!1 = \color{#c00}{f(1)}\,$ por el Polinomio Teorema del Resto. Generalmente CRT cálculos son más sencillos cuando se resuelve la última de las congruencias con menos módulos.

Answer 3

Voy a seguir tu enfoque. Tenemos $$f(x)=(x-1)^2p(x)+x+3$$ Así, $f(1)=4$. También tenemos que $$f(x)=x^2q(x)+2x+4$$

Y queremos encontrar a $a,b,c$ en $$f(x)=(x-1)x^2g(x)+ax^2+bx+c$$ Plugin $x=1$ obtener $4=a+b+c$.

Plugin $x=0$ no nos da la suficiente información, ya que esto sólo nos da el resto después de dividir por $x$(en lugar de $x^2$).

Así, en lugar de plugin, nos fijamos $f$ mod $x^2$. Tenemos $$f(x)=x^2[(x-1)g(x)+a]+(bx+c)$$ Ya que estamos, dado que el resto de la división de $f(x)$ por $x^2$ es $2x+4$, llegamos a la conclusión de $bx+c=2x+4$, es decir, $b=2$, $c=4$. Y por lo tanto, $a=-2$.

Llegamos a la conclusión de que el recordatorio de $f$ dividiendo por $ (x-1)x^2$ es $-2x^2+2x+4$.

Answer 4

Método General, sin formales derivados.

Supongamos que $$ f(x) = g(x) (x-1)^2 + (x+3)= h(x) x^2 + (2x + 4). $$ Entonces $$ (x-1)^2 f(x) = (x-1)^2 x^2 h(x) + (x-1)^2 (2x+4) \tag 1 $$ y $$ x^2 f(x) = x^2 (x-1)^2 g(x) + x^2(x+3). \tag 2 $$ Ahora hay que hacer el algoritmo de Euclides a $x^2, (x-1)^2$: \begin{align*} x^2 &= (x-1)^2 + (2x-1), \\ (x-1)^2 &= \frac 14 (2x-1)(2x - 3) + \frac 14, \end{align*} por lo tanto $$ 1 = 4(x-1)^2 - (2x - 1) (2x-3) = 4(x-1)^2 - (x^2 - (x-1)^2) (2x-3) = (x-1)^2 (4 + 2x-3) - x^2 (2x - 3) = \color{blue}{(x-1)^2 (2x+1) - x^2 (2x - 3)}. $$ Por lo tanto $(2x+1) \cdot \mathrm {Eq}(1) - (2x - 3) \cdot \mathrm {Eq} (2)$rendimientos $$ f(x) = (x-1)^2 x^2 F(x) + (2x+4) (2x+1)(x-1)^2 - (x+3)(2x-3)x^2. $$ Desde $$ (2x+4) (2x+1)(x-1)^2 - (x+3)(2x-3)x^2 = (4x^2 + 10x + 4)(x-1)^2 - (2x^2 + 3x -9)x^2 = (4x^3 +6x^2 -6x - 4)(x-1) - ((2x+5)(x-1) -4)x^2 = x^2 (x-1) G(x) + ((-6x -4)(x-1) + 4x^2) = x^2(x-1)G(x) + (\color{red}{-2x^2 +2x +4}), $$ tenemos $$ f(x) = x(x-1)^2 (G(x)+ xF(x)) + (\color{red}{-2x^2 +2x +4}), $$ lo que significa que el resto es $$ \color{red}{-2x^2 +2x +4}. $$

Answer 5

Adaptar el Algoritmo de Euclides Extendido, como el implementado en esta respuesta, a la división de polinomios y la rotación de ir abajo de la página en lugar de a través de: $$ \begin{array}{c|cc|c} \color{#C00}{x^2}&\color{#C00}{1}&0\\ \color{#090}{x^2-2x+1}&0&\color{#090}{1}\\ 2x-1&1&-1&1\\ \color{#C90}{\frac14}&\color{#C00}{-\frac12x+\frac34}&\color{#090}{\frac12x+\frac14}&\frac12x-\frac34\\ 0&4x^2-8x+4&-4x^2&8x-4 \end{array}\tag1 $$ que dice $$ \overbrace{(2x+1)}^{4\left(\frac12x+\frac14\right)}(x-1)^2+\overbrace{(-2x+3)}^{4\left(-\frac12x+\frac34\right)}x^2=\overbrace{\ \quad1\ \quad}^{4\cdot\frac14}\tag2 $$ Por lo tanto $$ (2x+1)(x-1)^2\equiv\left\{\begin{align}1&\pmod{x^2}\\0&\pmod{(x-1)^2}\end{align}\right.\tag3 $$ y $$ (-2x+3)x^2\equiv\left\{\begin{align}0&\pmod{x^2}\\1&\pmod{(x-1)^2}\end{align}\right.\tag4 $$ Por lo tanto, mod $x^2(x-1)^2$, el polinomio es $$ \begin{align} &(2x+4)\overbrace{(2x+1)(x-1)^2}^{(3)}+(x+3)\overbrace{(-2x+3)x^2}^{(4)}\\ &=2x^4-x^3-3x^2+2x+4\\ &\equiv3x^3-5x^2+2x+4&&\bmod x^2(x-1)^2\\ &\equiv-2x^2+2x+4&&\bmod x^2(x-1)\tag5 \end{align} $$ que podemos decir desde $\left.x^2(x-1)\,\middle|\,x^2(x-1)^2\right.$.