Concepto de

Question

En termodinámica, yo estaba tratando de resolver la siguiente integral.

$$\int_{T_{1}}^{T_{2}} d \ln K=-\frac{\Delta H}{R} \int_{T_{1}}^{T_{2}} d\left(\frac{1}{T}\right)$$

$$\ln K\left(T_{2}\right)-\ln K\left(T_{1}\right)=-\frac{\Delta H}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right)$$

$$\int_{T_{1}}^{T_{2}} d\left(\frac{1}{T}\right)$$

Cuando yo estaba estudiando en la escuela, normalmente tendríamos una integral indefinida como

$$\int x dx$$ donde tenemos una variable y estamos integrando con respecto a un pequeño cambio en la mayoría de las veces) que la variable en sí, es decir, integrar a $x$ con respecto al $dx$.

Pero en esta $\int_{T_{1}}^{T_{2}} d\left(\frac{1}{T}\right)$ I fue la izquierda, en lugar de pegado.

Estamos integrando $1$ con respecto al $d\left(\frac{1}{T}\right)$ o se trata de una definición incorrecta de la declaración?

Sólo estoy un poco confundido por lo que esto significa en términos simples.

NOTA: Esto es para una clase de introducción a la química del estudiante así, disculpas si el concepto parece trivial a los demás.

Answer 1

La notación puede ser más intuitiva si nos fijamos en la definición de la integral de la suma del lado. De hecho, como el ordinario de la integral de Riemann es simplemente

$$ \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) (x_i - x_{i-1}) $$

donde el error se hace más pequeño, como el más fino de la partición de $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ es considerado, el de Riemann-Stieltjes integral es

$$ \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}g(x) \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) (g(x_i) - g(x_{i-1})). $$

Aquí son casos particulares:

1. Si $f$ es constante con el valor de $c$, entonces todos los términos intermedios cancelar, produciendo

   $$ \int_{a}^{b} c \, \mathrm{d}g(x) \approx \sum_{i=1}^{n} c (g(x_i) - g(x_{i-1})) = c(g(b) - g(a)). $$

2. Si $g$ es agradable (continuamente diferenciable, por ejemplo), $g(x_i) - g(x_{i-1}) \approx g'(x_i)(x_i - x_{i-1})$ por aproximación lineal, y así,

   $$ \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}g(x) \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) g'(x_i) (x_i - x_{i-1}) \approx \int_{a}^{b} f(x)g'(x) \, \mathrm{d}x. $$

Por supuesto, la definición de Riemann-Stieltjes integral permite a una clase más general de incrementos de $\mathrm{d}g(x)$ otros que aquellos proporcional a $\mathrm{d}x$, que es la teoría y cómputo útiles.

Answer 2

Estás integrando 1 con respecto a $\frac1T.$
Para que sea más fácil de entender, deje que $u=\frac1T.$ luego $$\int_{T_1}^{T_2}d(\frac1T)=\int_{\frac{1}{T_1}}^{\frac{1}{T_2}}du=u\Big|_{\frac{1}{T_1}}^{\frac{1}{T_2}}=\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}$ $

Answer 3

tenga en cuenta que: $$\frac{d}{dT}\left[\frac 1T\right]=-\frac{1}{T^2}$ $ ahora si reorganizamos obtenemos: $$d\left[\frac 1T\right]=-\frac{dT}{T^2}$ $ aplicando esto a su integral obtenemos: $$\int_{T_1}^{T_2}d\left[\frac 1T\right]=\int_{T_1}^{T_2}-\frac{dT}{T^2}=\left[\frac 1T\right]_{T_1}^{T_2}=\frac 1{T_2}-\frac{1}{T_1}$ $