Grupo de automorfismo de un álgebra de Lie.

Question

He leído Nolan Wallach Geométricas Invariantes en el libro de la Teoría. En un capítulo, el autor habla sobre el grupo $G$ en Aut$(\mathfrak{g})$ correspondiente a ad$(\mathfrak{g})$ (aquí se $\mathfrak{g}$ es un complejo de álgebra de la Mentira). No entiendo lo de este grupo. Sé que dado $X\in\mathfrak{g}$, ad$(X)$ es una Mentira álgebra de mapa de $\mathfrak{g}$ a en sí, sin embargo este no puede ser un automorphism pues siempre tiene un núcleo (es decir, ad($X)(X)$ siempre $0$).

$\textbf{Question}:$ Dado el complejo Mentira álgebra $\mathfrak{g}$, ¿cuál es el subgrupo de Aut$(\mathfrak{g})$ correspondiente a ad$(\mathfrak{g})$?

Answer 1

Teorema: Para cualquier Mentira grupo $G$, la asignación de $H\mapsto\text{Lie}(H)$ es un bijection entre (clases de equivalencia) de incrustaciones (no necesariamente cerrado) $H\hookrightarrow G$ de los conectados Mentira grupos $H$ a $G$ y la Mentira subalgebras ${\mathfrak h}\subseteq {\mathfrak g}:=\text{Lie}(G)$.

Como un ejemplo de un no-cerrada la incorporación, la de considerar la abelian Mentira grupo ${\mathbb T}^2$ con la Mentira de álgebra ${\mathbb R}^2$. Cualquier línea que pasa por el origen con irracional pendiente define una Mentira subalgebra de ${\mathbb R}^2$ correspondiente a un no-cerrada la incrustación ${\mathbb R}\hookrightarrow {\mathbb T}^2$ densamente bobinado ${\mathbb R}$ todo ${\mathbb T}^2$.

En su contexto, se encuentran dos ejemplos de esto:

1. El (cerrado) conectado subgrupo $\text{Aut}^{\circ}({\mathfrak g}) \leq \text{GL}({\mathfrak g})$ corresponde a la Mentira subalgebra $\text{Lie}(\text{Aut}({\mathfrak g}))\cong \text{der}({\mathfrak g})$ de $\text{Lie}(\text{GL}({\mathfrak g}))\cong {\mathfrak g}{\mathfrak l}({\mathfrak g})$.

2. No hay una única Mentira grupo de integración en $\text{Aut}^{\circ}({\mathfrak g})$ correspondiente a la subalgebra $\text{ad}({\mathfrak g})\subseteq\text{der}({\mathfrak g})$ de $\text{Lie}(\text{Aut}({\mathfrak g}))$, y el dominio de que la inclusión es el grupo el libro está hablando. Nota, sin embargo, que este grupo no está cerrado en general. Ver, por ejemplo, el Ejercicio 18.1.2 en Hilbert-Neeb de la "Estructura y la Geometría de la Mentira de los Grupos".