En la formulación algebraica de la física cuántica/información, los estados $\omega: \mathcal{A}\rightarrow \mathbb{C}$ se definen como lineal funcionales en un $C^*$-álgebra $\mathcal{A}$ (álgebra de características observables, representable como $\mathcal{B}(H)$ por algún espacio de Hilbert $H$ a través de la GNS construcción) que son positivos ($\omega(A^*A)\geq 0\,\forall A\in \mathcal{A}$) y normalizado ($\omega(I)=1$ para $\mathcal{A}$ con la unidad de elemento $I$ o un equivalente a condición de no-unital $\mathcal{A}$). Estos estados cuánticos son, por lo general representado como la densidad de los operadores definidos a través de $\omega(A)=:\text{Tr}(\omega A)$, pero es bien sabido que en dimensiones infinitas que existen los llamados no-normal estados que no son representables de esta manera. Es esto debido al hecho de que para dimensiones infinitas $\mathcal{B}(\mathcal{H})\simeq H\otimes H^*$ ¿ no sostenga?
Respuesta
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Lo que sigue (y todas las referencias dadas) se basa en el Capítulo 16 del libro "Introducción al Análisis Funcional" por Meise & Vogt (1997). Allí también se puede leer en los espacios clave en este asunto si no están muy familiarizados con ellos, sin embargo: el compacto de los operadores de $\mathcal K(\mathcal H)$ y la clase de seguimiento $\mathcal B^1(\mathcal H)$ (en el libro citado arriba indicados por $S_1(\mathcal H)$ para el Schatten-1-clase). Las inclusiones entre estos espacios de infinitas dimensiones lectura $\mathcal B^1(\mathcal H)\subsetneq\mathcal K(\mathcal H)\subsetneq\mathcal B(\mathcal H)$ (en finito de dimensiones todos ellos coinciden).
Una de las necesidades de la traza de la clase, obviamente, para la traza $\operatorname{tr}(\omega B)$, $B\in\mathcal B(\mathcal H)$ a sentido más allá de dimensiones finitas. Uno puede mostrar que cada funcional lineal continua $\tau:\mathcal B^1(\mathcal H)\to\mathbb C$ (es decir, cada elemento del espacio dual $\tau\in(\mathcal B^1(\mathcal H))'$) es, precisamente, de la forma $$ \tau(A)=\operatorname{tr}(AB)\qquad\text{ para algunos }B\in\mathcal B(\mathcal H)\text{ y todos }A\in\mathcal B^1(\mathcal H)\,,\etiqueta{1} $$ cf. La proposición 16.26; para abreviar $(\mathcal B^1(\mathcal H))'\cong\mathcal B(\mathcal H)$. También la clase de seguimiento en infinitas dimensiones no es reflexivo (Corolario 16.27) lo que significa que $\mathcal B^1(\mathcal H)\not\cong (\mathcal B^1(\mathcal H))''\cong (\mathcal B(\mathcal H))'$. En otras palabras, no cada elemento del espacio dual de $\mathcal B(\mathcal H)$ es de esta traza de la forma (1).
En su lugar se puede demostrar que todos los $\varphi\in(\mathcal K(\mathcal H))'$ puede ser escrito como $\varphi(K)=\operatorname{tr}(KA)$ para algunos $A\in\mathcal B^1(\mathcal H)$ (Proposición 16.24). Así que si uno restringe a sí mismo el diseño compacto de los operadores, cada funcional es de traza formulario de nuevo-pero $\mathcal B(\mathcal H)$ es, obviamente, "la forma de mayores" $\mathcal K(\mathcal H)$.
Para concluir, todo lo que dije entonces puede ser muy bien resumida en una identidad: $$ \boxed{(\mathcal B(\mathcal H))'\supsetneq(\mathcal K(\mathcal H))'\cong \mathcal B^1(\mathcal H)} $$ que--reformulada--dice que no existe la "no-normal de los estados" en infinitas dimensiones.
