Construyendo anillos con una celosía específica de ideales.

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con 1. Los ideales de $R$ en forma de red con la inclusión como el fin de la relación. Permítanme llamar el ideal de celosía $L(R)$ de $R$.

Debido a un arbitrario de celosía $L$, hay algunas operaciones típicas para la obtención de nuevas rejillas de $L$. Me pregunto si hay anillos que tienen estas celosías como su ideal de celosías, y puede ser fácilmente construido a partir de $R$.

• Hay un anillo de $R'$ , de modo que $L(R')$ es (isomorfo a) el doble de celosía de $L(R)$, es decir, la red misma, pero a la inversa de la celosía de la orden.
• Para los ideales de la $I,J\in L(R)$ con $I\subseteq J$, se puede formar el intervalo de $$[I,J]:=\{K\subseteq R\text{ an ideal}\mid I\subseteq K\subseteq J\}.$$ Esto es de nuevo una celosía. Hay un anillo con un ideal de celosía isomorfo a $[I,J]$?

Como un ejemplo, yo sé que para algunos ideales $I\in L(R)$, el intervalo de $[I,R]$ es isomorfo al ideal de la celosía del cociente del anillo de $R/I$. Hay una inclusión de la preservación de una correspondencia uno a uno entre los ideales de $R/I$ y los ideales de $R$ que contengan $I$.

Answer 1

Hay un anillo de $R'$ , de modo que $L(R')$ es (isomorfo a) el doble de celosía de $L(R)$, es decir, la red misma, pero a la inversa de la celosía de la orden.

No, no se pegue a los anillos con la identidad de menos. La forma sencilla de ver esto es sólo para que se tenga en cuenta que en un anillo con identidad, hay siempre la máxima ideales, pero no siempre un mínimo de ideales. Así que si usted tomó un anillo sin un mínimo de ideales (como $\mathbb Z$), entonces no hay ningún anillo con identidad haber un entramado de ideales isomorfo a la doble celosía.

No sé para asegurarse de que su conjetura no es verdad, pero sí sé que el problema de la representación de las rejillas como ideal de celosías de los anillos no es un problema fácil. Creo que el más famoso de resultados a lo largo de estas líneas es cuando von Neumann representados ciertos tipos de redes como las rejillas de los ideales de lo que ahora se denomina von Neumann regular anillos para los propósitos de estudio de la continuidad de la geometría.'

Hay una clase importante de los anillos para que el ideal de la celosía es la auto-dual: son los llamados (propiedad conmutativa) cuasi-Frobenius anillos.

O más en general, ¿qué podemos aprender sobre el anillo de sólo saber su ideal de celosía?

Así, muchos anillo de propiedades se reflejan o incluso definida por su ideal de celosía. La definición de "Noetherian" y "Artinian" en términos de la cadena de condiciones son exactamente las instrucciones acerca de cómo sus celosías de (izquierda/derecha/bilaterales) ideales de comportamiento.

Pero mucha de la información se pierde, por supuesto. En cuanto a sus celosías de izquierda/derecha/bilaterales ideales ir, todos de la división de los anillos de aspecto idéntico.

Véase también la pregunta anterior: ¿Qué ideales de un anillo de decir acerca de su estructura interna