¿existe un número que contenga todos los primos menores que él?

Question

Quiero un número que tenga una factorización prima que contenga todos los números primos menores que ese número (además de $2$ ), quien tenga una respuesta que muestre una prueba.

He hecho un pequeño progreso, si este número existe, entonces es uno menos que un número primo.
prueba:
hacer una lista de todos los primos menores que $n$ $\{P_1,\space P_2,\space P_3,\cdots\}$
$n+1$ no es un factor de ninguno de estos números primos, por lo que o bien es un número primo o tiene un número primo que no figura en nuestra lista, y como la lista contiene todos primos menores que $n$ , $n+1$ debe ser primo.

y más evidencia que sugiere que esto existe es la prueba de que existe cualquier hueco primo arbitrario. si $n!+1$ es primo, entonces el espacio primo entre $n!+1$ y el siguiente primo es al menos $n-1$ porque:
$n!+2$ es múltiplo de $2$ y
$n!+3$ es múltiplo de $3$ y así sucesivamente hasta
$n!+n$ que es múltiplo de $n$

cualquier ayuda adicional será apreciada

Answer 1

Esto es imposible. Por cada $n>1$ tenemos gcd $(n,n-1)=1$ . Como hay un primo que divide $n-1$ el resultado es el siguiente.

Editar : Debería haber supuesto $n>2$ ya que necesito un divisor primo de $n-1$ .

Answer 2

Para hacer Señor Tiburón de la Comisión:

Sea $n$ sea compuesto y que $p$ sea su mayor factor primo. Entonces ciertamente $n\ge 2p$ . Por el postulado de Bertrand, existe un primo $q$ entre $p$ y $2p$ por lo que existen primos por debajo de $n$ que no dividen $n$ .

Answer 3

Una pequeña dilatación sobre la respuesta de Levent: Imaginemos que existe tal número y que hay $n$ primos menores que ese número. Entonces el número más pequeño que contiene todos esos primos es el producto de todos esos primos, que se llama primorial y se denota $p_n\#$ .

En efecto, su pregunta es: "¿Se da el caso de que $p_{n+1}>p_n\#$ ?"

Podemos empezar por considerar el número $p_n\#+1$ . Dado que cada uno de los primeros $n$ primos divide $p_n\#$ y ninguno de ellos divide $1$ concluimos que ninguno de ellos puede dividir $p_n\#+1$ . Así que ese número debe ser primo o tener factores primos. Si tiene factores primos, deben ser distintos de cualquiera de los primeros $p_n$ y esos factores deben ser menores que $p_n\#$ y mayor que $p_n$ sí mismo. En este caso, el primo siguiente mayor que $p_n$ tendría que ser menor que $p_n\#$ y la respuesta a tu pregunta sería "No". Así que eso nos obliga a considerar que $p_n\#+1$ es en realidad un primo, y postular que es el primo inmediatamente superior a $p_n$ es decir $p_{n+1}$ . Si alguna vez se diera el caso de que $p_{n+1}=p_n\#+1$ Esa sería la única forma posible de responder positivamente a su pregunta.

He aquí cómo la respuesta de Levent hunde ese barco. Ahora debemos considerar el número $p_n\#-1$ . Como en el caso de $p_n\#+1$ Cada $p_n$ divide $p_n\#$ pero ninguno de ellos divide $1$ Así que $p_n\#-1$ debe ser primo o tener factores primos, en cualquier caso menores que $p_n\#$ . Siendo así, $p_n\#+1$ no puede ser el primo inmediatamente superior a $p_n$ .

La respuesta de Levent responde por sí sola a su pregunta en sentido negativo. Sin embargo, la excursión realizada aquí muestra que la respuesta de Levent también socava el único candidato razonable para el tipo de número que usted postula.

Answer 4

Míralo desde el otro lado, los "medio-primoriales" (ver http://oeis.org/A070826 ) de las cuales la primera compuesta es 15, que como sabes es $3 \times 5$ .

Pero no es divisible por 7, 11 o 13. Multiplícalos y obtendrás 15015. Pero eso no es divisible por 17, 19, 23, 29, ..., 14983 o 15013. Multiplícalos por... en realidad, no lo hagas, podrías atascar tu ordenador durante demasiado tiempo.

Answer 5

$n=2\cdot{n\over 2}$ como máximo para que funcione el factoring. Pero, por esa misma lógica, aplicándola con el Postulado de Bertrand $$\exists c\in\mathbb{P},{n\over 2}\leq c\leq n\implies c\mid n \land 2\nmid n$$ contradiciendo la posibilidad de que funcione un n con la propiedad de divisibilidad por 2. lo que entonces dice que n no incluye todos los primos menores que él.