¿Existe un poder de verano de orden$+ \infty$?

Question

Empezamos con algunos de número de $n$ y la suma de sus dígitos (podemos denotar la suma de los dígitos de la función como $S_d$) para obtener el número de $S_d(n)$.

Si $S_d(n)$ es primo, a continuación, calculamos el número de $n^2$ y la suma de sus dígitos para obtener el $S_d(n^2)$. Si $S_d(n^2)$ es primo, a continuación, calculamos el número de $n^3$ y la suma de sus dígitos para obtener el $S_d(n^3)$, y así sucesivamente...

Nos puede llamar al número $n$ un power-verano de orden m si los números de $S_d(n),...S_d(n^m)$ son todos números primos.

Nos puede llamar al número $n$ un power-verano de orden $+ \infty$ si $n$ es poder-verano de orden m por cada $m \in \mathbb N$

Una pregunta es:

¿Existe un poder de verano de la orden de $+ \infty$?

¿Es usted de la opinión de que hay algunos máximo global, es decir, un número natural $W$ ejemplo de que el fin de todas las $n$ es de menos de $W$?

Una respuesta no está a mi alcance, yo no sé mucho acerca de la suma de los dígitos de funciones, pero tal vez alguien tiene algunas buenas ideas.

Pedro encontró un número de orden de $14$, un número $20619661$ y se calcula que hasta un $n=10^9$ no hay ningún número con un pedido de más de $14$.

Answer 1

Básica probabilístico heurística sugieren que no hay poder-verano de orden $+\infty$ ni hay algunos máximo global de $W$.

Si vemos la $n^m$ como un número aleatorio entre $0$ e $9\log_{10}(n^m) = 9m\log(n)$, a continuación, $Pr(S_d(n^m) \text{ is prime}) \approx \frac{1}{S_d(n^m)} \approx \frac{1}{4.5m\log(n)}$. Así, suponiendo que cualquier leve independencia entre los eventos de $S_d(n^m)$ (para $n$ fijos $m$ rangos), lo cual es razonable, va a dar que la probabilidad de que cada una de las $S_d(n^m)$ es primo es $0$.

Sin embargo, para cualquier entero positivo $W$, $Pr(S_d(n^1),\dots,S_d(n^W) \text{ are prime}) \approx \frac{1}{4.5^W W!}\frac{1}{(\log n)^W}$, por lo que desde $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{(\log n)^W} = +\infty$, Borel-Cantelli sugiere que un número infinito de números enteros positivos son el poder de verano de la orden de $W$.