Acción transitiva de un grupo discreto en un espacio compacto.

Question

Deje $G$ ser un discreto contables grupo que actúa sobre un compacto, espacio de Hausdorff $X$. Suponga que la acción es transitiva. Es decir, $G\cdot x=X$, para todos los $x\in X$.

De lo anterior se sigue que $X$ es finito?

Pensé que la respuesta debería ser que sí, como $G\cdot x$ es entonces un discreto espacio compacto, y así debe ser finito. Sin embargo, no estoy seguro ya que yo puede decir que es un espacio discreto. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Así, en general, cualquier espacio topológico es una imagen de un espacio discreto. Pero en este escenario funciona. No porque $G$ es discreto pero debido a que es contable. Primero de todo, tenga en cuenta que $X$ es también contables como una imagen de una contables conjunto.

Suponga que $X$ no es discreto. Entonces hay un punto de $x_0\in X$ que no está aislado. Desde $G$ actúa en $X$ transitivamente y $x\mapsto gx$ es un homeomorphism entonces esto demuestra que no hay ningún punto en $X$ es aislado. Pero un compacto Hausdorff espacio sin puntos aislados tiene que ser incontables. Para la prueba de ver aquí (además de algunos de discusión con respecto a un conjunto relacionado de teoría de axiomas, para la seguridad supongo ZFC). Contradicción.

Desde $X$ es discreto y compacto, entonces tiene que ser finito.

Tenga en cuenta que la suposición acerca de la $G$ ser discreta es irrelevante.

Answer 2

Desde $G$ es contable y $G\cdot x=X$, tenemos $X$ es contable, compacto y Hausdorff. Así que por Sierpinski-teorema de Mazurkiewicz (esto parece una exageración, pero no puedo pensar en ninguna simplificaciones en el momento), $X$ es homeomórficos a $\omega^\alpha\cdot n+1$, donde $\alpha+1$ es el Cantor-Bendixon rango de $X$, e $n\geq 1$ es la cardinalidad de $X^{(\alpha)}$.

Ahora tenemos que descartar $\alpha\geq 1$. Para estos casos, tenga en cuenta que $G$ sólo pueden mapa de $\omega^\alpha\cdot m$, $m>0$ a otro punto de $\omega^\alpha\cdot m'$, $m'>0$, debido a que cada barrio de $\omega^\alpha\cdot m$ contiene un homeomórficos copia de $\omega^\alpha+1$. Por lo tanto la acción de la homeomorphism grupo (por lo tanto, $G$) no es transitiva, a menos $\alpha=0$.