¿Cómo justificar la resolución de$f(x+1) + f(x) = g(x)$ usando este método de tipo espectral?

Question

Digamos que quiero encontrar soluciones $f\in C(\Bbb R)$ a de la ecuación

$$ f(x+1) + f(x) = g(x) $$

para algunos $g\in C(\Bbb R)$. Puedo escribir $f(x+1) = (Tf)(x)$ donde $T$ es el operador de desplazamiento a la derecha y volver a escribir la ecuación sugestivamente como $$ (I+ T)f=g. $$ Formalmente, puedo decir que la solución de esta ecuación es

$$ f= (I+ T)^{-1} g. $$

Por supuesto, soy consciente de que hay infinitamente muchas soluciones a la ecuación, pero por favor tengan paciencia conmigo, por un momento aquí.

La teoría del álgebra de operadores, si $f,g$ son de algunos agradable espacio de Banach $X$ y nuestro operador lineal $T:X\to X$ satisface $\|T\|<1$, luego tenemos $$ f = \left(\sum_{n=0}^\infty (-T)^n \right)g. $$

Sin embargo, no es razonable esperar que debemos tener $\|T\|=1$ por derecho de cambio de operador en la mayoría de los razonables en función de los espacios así que vamos a intentar resolver la ecuación $$ f= (I+\lambda T)^{-1} g. $$ para $\lambda <1$ primero y luego tomaremos $\lambda\to 1$. Tenga en cuenta que todos los pasos hasta ahora es puramente formal, ya $C(\Bbb R)$ no es una normativa espacio.

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Para un ejemplo concreto, supongamos que tomamos $g(x) = (x+2)^2$. El método anterior dice que debemos calcular primero (por $\lambda<1$) $$\begin{align} f(x) &= \left(I - \lambda T + \lambda^2 T^2 - \dots \right) g(x) \\ &= (x+2)^2 -\lambda (x+3)^1 + \lambda^2 (x+4)^2 + \dots \\ &= \left(1-\lambda+\lambda^2-\dots \right)x^2 + \left(2-3\lambda+4\lambda^2-\dots \right)2x + \left(2^2-3^2\lambda+4^2\lambda^2-\dots \right) \\ &= \frac{1}{1+\lambda} x^2 + 2 \frac{2+\lambda}{(1+\lambda)^2} x + \frac{4+3\lambda + \lambda^2}{(1+\lambda)^3}. \end{align}$$ Hemos de ser valientes, aquí y sustituto $\lambda=1$ aunque la serie no puede converger allí. Esto le da $$ f(x) = \frac 12 x^2 + \frac 32 x + 1 $$ pero voilà, por misteriosas razones desconocidas para mí, esta $f$ realmente resuelve nuestra ecuación original $f(x+1) + f(x) = (x+2)^2$ !

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Mi pregunta es simple:

¿Cuáles son los ocultos teorías detrás de el milagro observamos aquí? ¿Cómo podemos justificar todos estos aparentemente injustificable pasos?

No te puedo dar una referencia a este método, porque me acabo de removían, pensando que no iba a funcionar. Para mi mayor sorpresa, la respuesta tiene sentido en realidad. Estoy seguro de que método similar es probablemente practicado en algún lugar, probablemente por los físicos.

Algunos puntos que vale la pena mencionar:

1.) $C(\Bbb R)$ probablemente no es el espacio adecuado para trabajar con el ya que no es normativa. Sin embargo, quiero que mi respuesta sea una función continua en $\Bbb R$ para algún tipo de continuidad suposición es necesaria para que nuestro espacio de $X$.

2.) Reglamentando $C(\Bbb R)$ con $L^\infty$ norma no es la manera de ir, ya que es posible que $f$ es ilimitado, como nuestro ejemplo se muestra.

3.) La solución de $f$ no es única, ya que el núcleo de $(I+T)$ se compone de todos los $C(\Bbb R)$ funciones $h$ tal que $h(x+1)=-h(x)$, por ejemplo, $\sin(\pi x)$.

4.) Todos los de la serie de expansiones para $\lambda$ en mi ejemplo converge al $|\lambda| <1$ pero no a $\lambda=1$ pero por alguna razón el resultado comprueba.

Answer 1

En primer lugar, si $g(x)$ es una orden $n$ polinomio, podemos encontrar un único orden de $n$ polinomio $f(x)$ que resuelve tu ecuación funcional, equiparando el polinomio de coeficientes en ambos lados de la ecuación, pero por otro lado su método de solución es muy inteligente y muy interesante. Para el resto, considere la posibilidad de $f$ e $g$ a ser transformadas de Fourier de las distribuciones (funciones de prueba de que caiga más rápido de $1/x^n$ debería funcionar).

$T$ es un operador unitario con $(T^\dagger f)(x)=f(x-1)$ y autovector $e^{ikx}$ ha autovalor $e^{ik}$, lo que equivale a $-1$ para $k=(2n+1)\pi$. Ahora supongamos $g(x)=e^{ikx}$ con $k \neq (2n+1)\pi$, entonces su serie de $(I+\lambda T)^{-1} g$ hace $(1-\lambda e^{ik}+\lambda^2 e^{i2k}-...)g=(1+\lambda e^{ik})^{-1}g$. Aunque la serie no converge para $\lambda = 1$ el límite existe. Para $k=(2n+1)\pi$ la serie se convierte en $(1+\lambda +\lambda ^2+\lambda ^3+...)g=(1-\lambda )^{-1})g$, que no tiene un buen límite de $\lambda \mapsto 1$. De hecho, si $(I+T)g=0$, a continuación, $(I+T)^2f=0$, pero para unitario $T$ $(I+T)^2f=0$ no tiene ningún tipo de soluciones que no resuelven $(I+T)f=0$. La moraleja de la historia es que su método de solución de falla si la transformada de Fourier de $g(x)$ no es cero para cualquier $k=(2n+1)\pi$.

Finalmente, en cuanto a por qué su serie de obras de polinomios, la transformada de Fourier de $x^n$ es $(i\frac{d}{dk})^n\delta (k)$, el cual no contiene prohibido frecuencias.