Prueba de que$(L^1)\neq(L^\infty)^\ast$

Question

He visto una "prueba" de que$L^1\neq(L^\infty)^\ast$ dice lo siguiente: muestra que hay un elemento de$(L^\infty)^\ast$ que no está en la imagen del mapa canónico$L^1\rightarrow(L^\infty)^\ast$. De esto concluyen que$(L^1)\neq(L^\infty)^\ast$, ¿cómo sigue esto? Quiero decir simplemente porque el mapa canónico no es un isomorfismo, no se sigue que no sean isomorfos (isométricamente), ¿no es así? Debemos distinguirlos de alguna manera por propiedades (reflexivas, separables, etc.) ¿no es así?

Answer 1

Sabemos que,$L_\infty$ no es separable, por lo que tampoco lo hace su doble$L_\infty^*$. Queda por recordar que$L_1$ es separable.