Quizá le sorprenda saber que tales espacios existen; de hecho, son un ejemplo de uno de los tipos más estudiados de las formalizaciones matemáticas de espacio ¡!
No sé a qué te refieres con lo de "no soy matemático", así que de momento te daré la respuesta en términos algo técnicos y si quieres alguna aclaración, volveré cuando esté menos cansado para dar una explicación más exhaustiva.
Queremos que un espacio euclidiano sea uno en el que podamos realizar la geometría euclidiana tradicional, bajo esta interpretación un espacio euclidiano contiene (al menos) cinco nociones importantes y coherentes entre sí:
- Ángulo
- Longitud
- Distancia
- Área
- Líneas
De hecho, en el modelo habitual de un espacio euclidiano ( $\mathbb R^n$ ) todos estos son rasgos esenciales la misma cosa, la noción de la llamada producto interior . Con esto definimos en pasos el norma El métrica El topología y el medir . Con "por pasos" quiero decir que cada definición sólo depende de la anterior. Estas dan cuenta de las cuatro primeras:
- Producto interior $\rightarrow$ Ángulo
- Norma $\rightarrow$ Longitud
- Métrica $\rightarrow$ Distancia
- Medida $\rightarrow$ Área
(La topología no hace gran cosa desde el punto de vista geométrico; intuitivamente induce una noción de "cercanía", pero en realidad no pensamos en ella como un concepto geométrico).
Un producto interno viene con algunos prerrequisitos; el nombre técnico es que los elementos del espacio deben formar un espacio vectorial real , lo que significa que, a grandes rasgos, existe una noción de dirección. No todos los espacios vectoriales reales admiten un producto interior, pero un producto interior no puede existir sin un espacio vectorial real [técnicamente, un espacio vectorial complejo también funcionaría].
Las direcciones, por supuesto, inducen una noción de líneas, que completa la lista. (Las direcciones también inducen una noción de planos e hiperplanos que son importantes desde el punto de vista geométrico, pero no lo necesitaremos). Los conos surgen a través de un proceso más complejo, pero la estructura del espacio vectorial real es todo lo que necesitan; ni siquiera el producto interior es necesario para los conos generales.
El resultado de esto es el siguiente: para tener un producto interno, no podemos vivir con las reglas de D&D. Hay teoremas a este efecto; yo mismo no conozco todos los detalles.
Sin embargo Si estamos dispuestos a dejar atrás los productos internos, y tomar sólo normas Entonces podemos construir un modelo explícito de las reglas de D&D (al menos como las has descrito). Comprobación de cordura: todo lo que has descrito tiene sentido siempre que tengamos una norma, porque también requiere un espacio vectorial real.
El modelo es en realidad bastante simple; es $\mathbb R^n$ equipado con el llamado norma del infinito ; de modo que la norma de un vector es el máximo de sus componentes.
$$ || (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n ) ||_\infty = \max(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)$$
En la norma del infinito, el conjunto $\{ x\in\mathbb R^n : ||x||_\infty=1\}$ que describe una hiperesfera, tiene de hecho la forma de un hipercubo (puede comprobarlo con $n=2$ ). Sin embargo, como las líneas provienen únicamente del espacio vectorial real, y no de los artilugios que proporciona la norma. Por lo tanto, las líneas en este espacio se ven exactamente igual que las líneas en el espacio euclidiano normal $\mathbb R^n$ (con el producto interior).
También se conservan otras cosas; la distancia depende de forma bastante crucial de la noción de norma, pero la definición de área está tan alejada que es idéntica para esta norma que en la norma euclidiana con respecto al conjunto subyacente. Así, por ejemplo, el área del círculo unitario en este nuevo espacio es la misma que el área del cuadrado unitario (simétrico) en el espacio euclidiano, que es sólo 4.
Los conos son, como se ha descrito, complicados. Pero mi opinión es que las nociones pueden divergir aquí. En particular, un cono sobre un círculo es el conjunto de líneas que conectan cada punto de ese círculo con el punto del vértice. Mi suposición es que en D&D los conos se ven más "bloqueados" porque están tratando de proyectar el cono habitual sobre una cuadrícula cuadrada. Estos objetos pueden definirse casi con toda seguridad; sólo que no son lo que un matemático suele llamar un cono . Pero esto es simplemente una preocupación práctica: hemos descubierto que una generalización diferente de los conos clásicos puede ser utilizada con gran efecto en los temas que estudiamos :)
