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Completar una secuencia ortornomal para obtener una base ortonormal enL2[a,b]

Estoy desconcertado con la siguiente pregunta: Supongamos que tenemos una secuencia ortonormal{en,nN} enL2[a,b] podemos agregar muchas funciones contables como las que obtenemos una base ortonormal [$ L ^ 2 [a, b] = \ overline {span \ left \ {\ left \ {e_ {n}, n \ in \ mathbb {N} \ left. \ right \} \ cup \ left \ {x_ {j}, j \ in \ mathbb {N} \ left. \bien bien. \Correcto. \ right.} paraL2[a,b]?

¿Podemos generalizar para cualquier espacio separable de Hilbert?

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s.harp Puntos 475

Sí, vamos a H ser un espacio de Hilbert separable con densa secuencia fn. Supongamos que usted tiene un ortonormales secuencia en. Deje U es el cierre de la extensión de en e U el complemento ortogonal de U. Deje p ser la proyección en U.

Hacer la ley Gramm-schmidt procedimiento en p(fn) para obtener una orthnormal secuencia que se encuentra en U (por lo tanto automáticamente ortogonal a en) y tiene la misma (cierre) intervalo como p(fn). Desde el cierre de las p(fn) debe ser U (p es continuo) se encuentra una base ortonormales de U y que comenzó con uno de U. Juntos, se convierten en una base de H.

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