Completar una secuencia ortornomal para obtener una base ortonormal en$ L^2[a,b] $

Question

Estoy desconcertado con la siguiente pregunta: Supongamos que tenemos una secuencia ortonormal$ \left \{ e_{n} , n \in \mathbb{N} \right.\left. \right \} $ en$ L^2[a,b] $ podemos agregar muchas funciones contables como las que obtenemos una base ortonormal [$ L ^ 2 [a, b] = \ overline {span \ left \ {\ left \ {e_ {n}, n \ in \ mathbb {N} \ left. \ right \} \ cup \ left \ {x_ {j}, j \ in \ mathbb {N} \ left. \bien bien. \Correcto. \ right.} $ $ para$ L^2[a,b] $?

¿Podemos generalizar para cualquier espacio separable de Hilbert?

Answer 1

Sí, vamos a $H$ ser un espacio de Hilbert separable con densa secuencia $f_n$. Supongamos que usted tiene un ortonormales secuencia $e_n$. Deje $U$ es el cierre de la extensión de $e_n$ e $U^\perp$ el complemento ortogonal de $U$. Deje $p$ ser la proyección en $U^\perp$.

Hacer la ley Gramm-schmidt procedimiento en $p(f_n)$ para obtener una orthnormal secuencia que se encuentra en $U^\perp$ (por lo tanto automáticamente ortogonal a $e_n$) y tiene la misma (cierre) intervalo como $p(f_n)$. Desde el cierre de las $p(f_n)$ debe ser $U^\perp$ ($p$ es continuo) se encuentra una base ortonormales de $U^\perp$ y que comenzó con uno de $U$. Juntos, se convierten en una base de $H$.