Dado que$f(x)$ es integrable en$[0, 1]$ y$0 < f(x) < 1$, pruebe que$\int_{0}^{1} (f(x))^{n} \mathop{dx}$ converge a$0$.

Question

Dado $f(x)$ es integrable en $[0, 1]$ e $0 < f(x) < 1$, demostrar que $\int_{0}^{1} (f(x))^{n} \mathop{dx}$ converge a $0$.

Entiendo por qué la afirmación es verdadera intuitivamente porque como $n \to \infty$, desde el $f$ se encuentra entre $0$ e $1$, será como un valor fraccionario, que converge a $0$ ya que las fracciones se hacen más pequeños y más pequeños.

Sin embargo, no estoy seguro acerca de cómo probar esto con rigor.

Answer 1

Aquí es una prueba que supone una cierta cantidad de teoría de la medida (y creo que esto es inevitable, pero puedo estar equivocado en pensar así).

Deje $f_n(x) =(f(x)) ^n $ , a continuación, cada una de las $f_n(x) $ es Riemann integrable en $[0,1]$ y, por tanto, el conjunto de $D_n$ de sus discontinuidades es de medida $0$ y por lo tanto el conjunto de $D=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}D_n$ es de medida $0$. Deje $\epsilon>0$ ser dado. A continuación, hay una secuencia de intervalos abiertos $\{J_n\}$ tal que $D\subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} J_n$ y la duración de estos intervalos de $J_n$ combinado de menos de $\epsilon$.

La próxima $f_n(x) \to 0$ como $n\to\infty $ para todos los $x\in[0,1]$. Deje $x\in[0,1]\setminus D$. Entonces tenemos un entero positivo $n_x$ dependiendo $x$ tal que $f_n(x) <\epsilon$ para todos los $n\geq n_x$. Por la continuidad de $f_{n_x}$ a $x$ se deduce que hay un vecindario $I_x$ tal que $f_{n_x} (x) <\epsilon $ para todos los $x\in I_x$. Desde $f_n$ es la disminución de ello se sigue que tenemos $f_n(x) <\epsilon$ para todos los $x\in I_x$ y todos los $n\geq n_x$.

Ahora el conjunto de todos los barrios de $I_x$ como $x$ varía en $[0,1]\setminus D$ junto con los intervalos de $J_n$ forma una cubierta abierta de $[0,1]$ y por lo tanto por Heine teorema de Borel de un número finito de estos intervalos cubre $[0,1]$. Así tenemos $$[0,1]\subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{p}I_{x_i} \cup\bigcup\limits_{i=1}^{q}J_i$$ Let $N$ be the maximum of integers $n_{x_1},n_{x_2},\dots,n_{x_p}$ then we have $$f_n(x) <\epsilon, \forall x\in\bigcup\limits _{i=1}^{p}I_{x_i} , \forall n\geq N$$ The end points of $J_1,J_2,\dots,J_q$ which lie in $[0,1]$ partition it into a finite number of subintervals. Denote the union of all those subintervals which contain points of $J_1,\dots, J_q$ as $A$ and let the union of remaining subintervals be denoted by $B$. Then length of $A$ is less than $\epsilon$ and $f_n(x) <\epsilon$ for all $n\geq N$ and all $x\in B$. Thus we have $$\int_{0}^{1}f_n(x)\,dx=\int_{A}f_n(x)\,dx+\int_{B}f_n(x)\,dx<\epsilon +\epsilon =2\epsilon $$ for all $n\geq N$. Therefore $\int_{0}^{1}f_n(x)\,dx\a 0$ as $n\to \infty $.

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Tenga en cuenta que el argumento anterior, en realidad se demuestra el siguiente resultado:

Teorema: Vamos a $\{f_n\} $ ser una secuencia de funciones de $f_n:[a, b] \to\mathbb {R} $ tales que cada una de las $f_n$ es no negativo y Riemann integrable en $[a, b] $ e $f_n(x) \geq f_{n+1}(x),\forall x\in[a, b] $ e $f_n(x) \to 0$ punto de sabios en casi todas partes en $[a, b] $ entonces $\int_{a} ^{b} f_n(x) \, dx\to 0$.

Answer 2

Desde $f$ es integrable, es medible. Por Lusin del teorema, para cualquier $\varepsilon>0$ existe un conjunto compacto $K\subset [0,1]$ tal que $f$ es uniformemente continua en $K$ e $|K|>1-\varepsilon$. Uniforme de continuidad implica que $\sup_{x\in K} f(x) = \lambda<1$. Así $$\begin{align} \int_{[0,1]} f(x)^n\, dx &= \int_{K} f(x)^n\, dx + \int_{[0,1]\backslash K} f(x)^n\, dx \\ &\le |K|\lambda^n + \varepsilon\cdot1. \end{align}$$ Tomar como límite $n\to\infty$ rendimientos $$ \limsup_{n\to \infty} \int_{[0,1]} f(x)^n\, dx \le \varepsilon. $$ Desde que mantener para cualquier $\varepsilon>0$, tenemos $\int_{[0,1]} f(x)^n\, dx\to 0$ como quería.

Answer 3

Usted puede utilizar el siguiente teorema debido a Arzelà :---

Deje $\{f_n\}$ ser una secuencia de Riemann integrable Funciones en $[a,b]$ y converge punto de sabio a $f$, también hay un número positivo $M$ tal que $|f_n(x)|≤M,\forall x\in [a,b],\forall n\in \Bbb N$. Ahora si $f$ es Riemann integrable sobre $[a,b]$ a continuación , $$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^bf_n(x)dx=\int_a^b\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)dx=\int_a^b f(x) dx.$$

Aquí $f_n(x)=(f(x))^n\rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$ $,\forall x\in [0,1]$.