Definición inductiva con elección de la secuencia

Question

En topología hay una forma muy común de definir una secuencia. Esta suele ser algo así como

"Definir $\{z_{n}\}$ sea una secuencia tal que $z_{0}$ es <blah blah blah>, y $z_{n}$ es tal que $R(z_{0},z_{1},\ldots,z_{n})$ es cierto. La secuencia está bien definida ya que siempre existe $z_{n}$ que satisfacen esa relación porque <blah blah blah>".

(aquí $R$ es algún tipo de relación, como por ejemplo $z_{n}\subset\bigcap\limits_{i=1}^{n-1}B_{\delta}(z_{i})$ (aunque el particular es irrelevante para esta pregunta)

Seguro que parece intuitivamente claro, y lo uso todo el tiempo. Mi profesor, a pesar de ser constructivista, acepta este razonamiento. Pero me he preguntado por curiosidad: ¿hay alguna forma de demostrar que esa secuencia existe? Espero que alguien pueda arrojar luz sobre esto. Sólo he visto un libro (sobre Análisis Complejo) que lo menciona y lo llama principio de definición inductiva aunque afortunadamente para ella, nunca necesita usar la elección en ningún sitio. El nombre parece haber sido inventado para el libro, ya que no encuentro nada con ese nombre exacto en Internet.

Tenga en cuenta que la cuestión que está en juego aquí es principalmente:

-Podemos demostrar que cualquier subsecuencia finita existe por inducción. La pregunta es sobre la existencia de la secuencia infinita.

-Siempre hay que elegir en cada paso, es decir, hay muchos $z_{n}$ que encajan en el proyecto de ley. Dado que se trata de un espacio topológico general, no hay una buena manera de elegir un elemento específico. El axioma de elección contable está permitido, por supuesto, pero incluso teniendo en cuenta eso, ¿cómo se demuestra que existe una secuencia infinita? Si el Axioma de Elección Contable no es suficiente, entonces por qué, y cómo se demuestra utilizando el Axioma de Elección completo?

He podido demostrar que existe una secuencia cuando no es necesario elegir. También puedo demostrarlo asumiendo que el espacio es contable (básicamente se reduce a la versión sin elección a través de un buen ordenamiento). Sin embargo, la mayoría de los espacios topológicos no son contables y es necesario elegir, así que estoy atascado.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El principio utilizado para definir las secuencias infinitas por inducción es más fuerte que el axioma de elección contable y se conoce como Elección de la persona dependiente o $\sf DC$ . El principio tiene muchas formulaciones equivalentes, una de ellas es la siguiente:

Supongamos que $S$ es un conjunto no vacío y $R$ es una relación binaria sobre $S$ cuyo dominio es todo $S$ . Entonces existe la función $f\colon\Bbb N\to S$ tal que $f(n)\mathrel{R}f(n+1)$ por cada $n\in\Bbb N$ .

El axioma de elección contable es suficiente cuando podemos definir uniformemente las familias entre las que estamos eligiendo. Si queremos un punto arbitrario cuya distancia a $x$ es como máximo $\frac1n$ entonces esto es factible con el axioma de elección contable ya que podemos elegir $x_n$ de $B_{\frac1n}(x)$ . Pero a menudo definimos $x_n$ para ser un elemento definible de los elementos previamente elegidos, en cuyo caso estamos utilizando de hecho $\sf DC$ .

Por último, para utilizar el axioma de elección completo se suele hacer una de las dos cosas siguientes:

1. Ordenar bien el espacio, y luego proceder a elegir el menos $x$ en la ordenación del bien que satisface los requisitos necesarios. O, más directamente,

2. Fijar una función de elección en todos los subconjuntos no vacíos del espacio (o sólo los subconjuntos relevantes, si nos preocupamos por los conjuntos abiertos o lo que sea), luego definir usar la inducción para elegir usando nuestra función de elección. Usando la función de elección como parámetro la elección del elemento ya no es arbitraria y podemos definir la secuencia infinita sin dificultad.