Encuentre $\lim_\limits{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^\alpha y^4}{x^2+y^4}$ donde $\alpha > 0$

Question

¿Cómo podemos encontrar el siguiente límite? $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^\alpha y^4}{x^2+y^4}\qquad \alpha>0$$

Utilizando la coordenada polar, obtenemos $$\lim_{r\to 0}r^{\alpha+2}\frac{\cos^\alpha\theta \sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4{\theta}}=0$$ si $\theta\notin\{\frac{\pi}{2}+\pi k:k\in\Bbb Z\}$ . Ahora bien, si $\theta = \frac{\pi}{2}+\pi k$ para algunos $k\in\Bbb Z$ , entonces obtenemos $$\lim_{(0,y)\to (0,0)}\frac{x^\alpha y^4}{x^2+y^4}=0.$$ ¿Podemos concluir que $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^\alpha y^4}{x^2+y^4}=0?$$

Answer 1

Sólo hay que notar que desde $\alpha > 0$ y $x^2 \geq 0$ tienes que $$ \frac{x^\alpha y^4}{x^2+y^4} \leq \frac{x^\alpha y^4}{y^4} = x^\alpha \overset{(x,y) \to 0}{\longrightarrow} 0.$$ Por lo tanto, está claro que uno tiene $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^\alpha y^4}{x^2+y^4} = 0$ . Rara vez se necesitan coordenadas polares para este tipo de preguntas. La mayoría de los problemas que he encontrado personalmente son fáciles de resolver usando este truco de arriba. Espero que te ayude :)

Answer 2

De la desigualdad AM-GM tenemos $$\left|\frac{x^ay^b}{x^2+y^4}\right|\le \frac12 |x|^{a-1}|y|^{b-2}$$

donde suponemos que $a$ es tal que $x^a\in \mathbb{R}$ para $x$ en un barrio de $0$ o que el límite se tome como $(x,y)\to (0^+,0)$ .

Y la igualdad se mantiene cuando $x=\pm y^2$ . Por lo tanto, encontramos

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^ay^b}{x^2+y^4}=0$$

siempre que tengamos $2a+b>4$ . De lo contrario, el límite no existe.

En el caso que nos ocupa, $a=\alpha$ y $b=4$ y vemos que el límite es $0$ para $\alpha>0$ y no existe de otra manera.