Un grupo y un dígrafo asociado.

Question

Estoy tratando de entender la prueba de la siguiente declaración:

Deje $\Gamma=\{g_1,\cdots,g_n\}$ ser un grupo. Definir un dígrafo $G$ por unirse a $g_i$ a $g_j$ por un borde de color $k$ si $g_ig_j^{-1}=g_k$. El automorphism grupo de la resultante de colores dígrafo es isomorfo a $\Gamma$.

La prueba en el libro, construye un mapa de $\phi:\Gamma\to Aut(G)$ definido por $\phi(g)=f_g$ donde $f_g\in Aut(G)$ tal que $f_g(g_i)=g_ig$. A continuación, se muestra que el $\phi$ es bijective.

La siguiente frase en el libro (y la frase que tienes un problema con el) es:

Pues es fácil ver que la multiplicación de los elementos de $\Gamma$ es la misma como la multiplicación entre el correspondiente automorfismos de $G$, llegamos a la conclusión de que la automorphism grupo de $G$ es isomorfo con $\Gamma$.

Obviamente, el significado aquí es que $\phi$ es un homomorphism. Sin embargo, no entiendo por qué la $\phi(g_ig_j)=\phi(g_i)\circ\phi(g_j)$. De hecho, $f_{g_ig_j}(g_k)=g_kg_ig_j\ne g_kg_jg_i=f_{g_i}\circ f_{g_j}(g_k)$, y por lo $\phi(g_ig_j)\ne\phi(g_i)\circ\phi(g_j)$, en general.

Puede alguien explicar por favor? Gracias.

Answer 1

Hay $2$ tipos de matemáticos: uno que escribe composición de funciones de derecha a izquierda y de izquierda a derecha.

Si en lugar de considerar a los (otros) $\phi$ actuando desde la izquierda: $\phi(g)= x\mapsto gx$, entonces todo va a encajar de nuevo. O, como alternativa, en lugar de $\circ$ usted puede pensar acerca de su doble operación en $Aut(G)$.

Y, también puede ser un error tipográfico ['$f_g(g_i)=gg_i$'], o el libro utiliza algo en la otra dirección.

Finalmente, entre los grupos, que en realidad no importa, porque si tenemos un 'contravariante' homomorphism, es decir, que satisface $$\phi(ab)=\phi(b)\phi(a)$$ a continuación, la asignación de $x\mapsto \phi(x)^{-1}$ va a ser un grupo ordinario homomorphism, la preservación de la dirección del grupo de operación.