Cómo calcular$\mathbb{P}(|U_{1} - U_{2}| < \frac{1}{12})$, donde$U_{i} \sim \mathcal{U}(0, \frac{1}{2})$ y$U_{i}$ son independientes.

Question

Tenemos un proceso de Poisson de intensidad $\lambda = 4$. Disponemos de los siguientes eventos:

$A$: "Dos marcas que aparecen con una separación de $\frac{1}{12}$ o menos".

Tenemos que calcular la probabilidad de que exactamente dos "marcas" que aparecen entre $0$ e $\frac{1}{2}$, e $A$ ocurring al mismo tiempo. Es decir, la probabilidad de que exactamente dos marcas ocurring en $(0, \frac{1}{2})$ con una separación de $\frac{1}{12}$ o menos.

Aquí está lo lejos que he llegado:

Deje $N$: Número de marcas entre las $0$ e $\frac{1}{2}$. Queremos: $$\mathbb{P}(N=2, A) = \mathbb{P}(A|N=2)\mathbb{P}(N=2) $$

$N\sim Poi(\frac{1}{2}4)$, así: $$\mathbb{P}(N=2) = \frac{2^2}{2!}e^{-2} = 2e^{-2}$$

Los tiempos de llegada para un condicionado número de marcas (en este caso dos) es $U_{1}$, e $U_{2}$, donde $U_{i} \sim \mathcal{U}(0, \frac{1}{2})$, e $U_{i}$ son independientes, por lo que:

$$\mathbb{P}(A|N=2) = \mathbb{P}(\max(U_{1}, U_{2}) - \min(U_{1}, U_{2}) < \frac{1}{12}) = \mathbb{P}\left(|U_{1} - U_{2}| < \frac{1}{12}\right)$$

Esto es donde estoy atascado. La respuesta se supone que ser $\frac{11}{18}e^{-2}$, lo $\mathbb{P}\left(|U_{1} - U_{2}| < \frac{1}{12}\right)$ debe $\frac{11}{36}$.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: decir que $U_1,U_2$ son uniformes independientes $[0,1/2]$ es equivalente a decir que $(U_1,U_2)$ se distribuye uniformemente sobre el cuadrado $[0,1/2]\times [0,1/2]=\{(x,y):0\le x\le 1/2,0\le y\le 1/2\}$ . Dibuja este cuadrado, dibuja la región donde $|x-y|\le \frac1{12}$ , y calcula la fracción de esta área sobre el área total.

Answer 2

Se puede proceder por ejemplo, de la siguiente manera: Vamos a $V_1=2U_1, V_2=2U_2$. A continuación, $Z = |V_1-V_2|$ sigue una distribución triangular con los parámetros de $(a,b,c)=(0,1,0)$ , y desea $$ \mathbb{P}\left\{ |U_1-U_2| < \frac{1}{12}\right\} = \mathbb{P}\left\{ Z < \frac{1}{6}\right\} = \int_0^{1/6} f_Z(z)dz = \int_0^{1/6} (2-2z)dz = \boxed{\frac{11}{36}} $$ como se reivindica.