Acerca de una prueba de "$\bigcup A$ es un límite cardinal"

Question

Se supone que si $A$ es un conjunto de cardenales tal que $A$ no contiene ningún elemento más grande y asumir que hemos demostrado que $\bigcup A$ es un cardenal. Ahora queremos demostrar que las $\bigcup A$ es un límite cardenal. Por contradicción, vamos a suponer que se trata de un sucesor, el cardenal $\kappa^+$ para algunos cardenal $\kappa$.

La prueba en tan Sólo/Weese ganancias", a Continuación, $A$ debe contener un elemento $\lambda$ tal que $\kappa < \lambda$."

Pero, ¿cómo llegamos allí?

Pregunta 1: no sabemos si $\kappa \in A$ o no, ¿verdad?

Pregunta 2: Si $\kappa \in A$ e $\bigcup A = \kappa^+$, entonces ¿cómo puede haber cualquier cardenales entre el $\kappa$ e $\kappa^+$? (Creo que no.)

Pregunta 3: tal vez el razonamiento es este? Si $A$ no contiene un elemento más grande, a continuación, para cada cardenal $\kappa$ en $\mathbf{Card}$, no es $\lambda \in A$ tal que $\kappa < \lambda$?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Pregunta 1: No, no sabemos si $\kappa \in A$. Pero desde $\kappa < \bigcup A$, esto significa que $\kappa \in \bigcup A$, y así debe haber algunos $\lambda \in A$ con $\kappa \in \lambda$ o, $\kappa < \lambda$.

Pregunta 2: Que es el origen de la contradicción!

Pregunta 3: Bastante, pero sólo se limita a los cardenales $\kappa$ menos de $\bigcup A$. Uno puede fácilmente producir juegos de los cardenales que no tienen un máximo del elemento, pero todavía limitada. El ejemplo más básico sería $\omega$ sí, y, en general, dado ningún límite cardenal $\lambda$ la familia $$A = \{ \kappa \in \lambda : \kappa \text{ is a cardinal} \}$$ sería una colección de este tipo.

Dando un gran nivel de detalle a la prueba de que $\bigcup A$ es un límite cardenal:

Si $\bigcup A$ es un sucesor, el cardenal, a continuación, $\bigcup A = \kappa^+$ para algunos cardenal $\kappa$. Tenga en cuenta que $\kappa < \bigcup A$, y por lo $\kappa \in \bigcup A$, lo que significa que hay algún cardenal $\lambda \in A$ tal que $\kappa \in \lambda$. Pero como $A$ no tiene elemento maximal, hay otro cardenal $\mu \in A$ tal que $\lambda < \mu$. Desde $\mu \in A$ entonces $\mu \subseteq \bigcup A$, lo que significa que $\mu \leq \bigcup A$. Pero mira $$\bigcup A = \kappa^+ \leq \lambda < \mu \leq \bigcup A.$$ se Puede ver una contradicción?

Answer 2

Recordemos que los cardenales (en este contexto) son sólo los números ordinales y que $\bigcup A$ es esencialmente el supremum de estos ordinales.

Si $\bigcup A=\kappa^+$, entonces estamos diciendo que $\sup A=\kappa^+$, por lo que hay algunos ordinal $\lambda\in A$ tal que $\kappa<\lambda$. Pero también sabemos que todos los miembros de $A$ son los cardenales lo $\lambda\geq\kappa^+$. Sin embargo $A$ no contiene un elemento más grande por lo que hay algunos $\mu\in A$ tal que $\kappa^+\leq\lambda<\mu$, y por lo $\sup A>\kappa^+$ lo $\bigcup A\neq\kappa^+$.

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La forma más clara de ver esto, en mi opinión, es transformar a éste en un problema acerca de los números ordinales.

Deje $A'=\{\alpha\in\mathbf{ON}\mid\aleph_\alpha\in A\}$. Mostrar que $A'$ no tiene un último elemento y, por tanto, $\sup A'$ es un ordinal límite, ahora tenemos que $\bigcup A$ tiene un límite cardenal.