Conexión canónica en$CP^n$

Question

He oído algo a lo largo de las líneas de "No es un canónica $U(1)$ conexión en $CP^n$" y estoy tratando de entender lo que eso significa.

Primero supongo que la frase se refiere a una línea de paquete de más de $CP^n$, posiblemente el tautológica de la línea de paquete.

Segundo ¿por qué hay una conexión preferida? Estaba pensando en eso $CP^n$ puede ser comprendido como el espacio homogéneo $\frac{U(n+1)}{U(1)\times U(n)}$. De ahí el Maurer-Cartan forma en $U(n+1)$ desciende a un único $U(n+1)$-invariante forma de conexión en $CP^n$ que, sin embargo, toma valores en $U(1)\times U(n)$. Estaba pensando que una forma de obtener un $U(1)$ conexión sería seguir la receta se describe en Una construcción sobre el principal de los fardos.

Es decir, se construye el paquete de $U(n+1) \times_{\rho} U(1)$ cuando la acción $\rho: U(1)\times U(n) \rightarrow U(1)$ es simplemente la proyección en el primer factor, seguido ny $U(1)$ multiplicación.

Sería un trabajo de construcción? Hay una forma más simple de pensar de la canónica de conexión en el tautológica (?) línea de paquete de más de $CP^n$?

Answer 1

El estándar de la acción de $U(n+1)$ a $\mathbb C^{n+1}$ preserva la unidad de la esfera de $S^{2n+1}$ y desplazamientos con la acción de la $U(1)$ (multiplicación de vectores por el complejo de la unidad de escalares). El cociente por $U(1)$ es $\mathbb C P^n$ e $S^{2n+1}\to \mathbb C P^n$ es una de las principales $U(1)$ paquete, en el que $U(n+1)$ hechos por paquete de automorfismos. Ahora el argumento es que no hay una única $U(1)$ conexión en $S^{2n+1}\to \mathbb C P^n$ es $U(n+1)$-invariante.

Prueba: desde $U(n+1)$ actos transitivly en $S^{2n+1}$ es suficiente para mostrar que en algún punto de $x\in S^{2n+1}$ existe un único complemento en $T_xS^{2n+1}$ a la tangente en el $x$ de la $U(1)$-órbita a través de $x$ que es invariante bajo el estabilizador de $x$ en $U(n+1)$. Deje que el punto de ser $x=(0,\ldots, 0, 1)$. A continuación,$T_xS^{2n+1}=\mathbb C^n\oplus i\mathbb R$, el 2º sumando es el espacio de la tangente en $x$ a de la $U(1)$ órbita a través de $x$, el estabilizador es $U(n)$, actuando en $T_xS^{2n+1}$ por el estándar de representación en el 1er sumando y trivialmente en el 2do. Ya que estos no son isomorfos irreductible $U(n)$-representaciones, de ello se sigue, por Schur lema, que esta es la única $U(n)$-invariante de la descomposición de la $T_xS^{2n+1}$. Por lo tanto $\mathbb C^n\oplus 0$ es la única $U(n)$ invariante complemento en $T_xS^{2n+1}$ a $0\oplus i\mathbb R$. De ello se desprende que no hay una única $U(n+1)$-invariante $U(1)$-conexión en la principal $U(1)$-bundle $S^{2n+1}\to \mathbb C P^n$. Su distribución horizontal es el complemento ortogonal de las tangentes a las $U(1)$de las órbitas.