¿Qué cuadrado no contiene el medio?

Question

Considera el cuadrado$S = [-1,1]\times[-1,1]$. Supongamos que colocamos un cuadrado más pequeño en su interior, que se gira con un ángulo$\alpha$ en relación con el cuadrado grande. ¿Cuál es la plaza más grande que no contiene el origen en su interior?

Cuando$\alpha=0$, la respuesta es obvia: la longitud lateral máxima es$1$. Cada cuadrado con una longitud lateral mayor que 1 debe contener el origen en su interior. Pero cuando$\alpha>0$, parece que la longitud lateral máxima es menor, y no sé cómo calcularla.

Answer 1

Dibuja una línea con pendiente$\alpha\in\ ]0,{\pi\over4}] $ a través del origen. Un cuadrado mayor inclinado por$\alpha$ que no contiene$(0,0)$ en su interior es el cuadrado con dos vértices en esta línea y los otros dos vértices en las líneas$x=-1$,$\>y=1$. Indica el lado de este cuadrado con$s$. Mirando el borde superior de la figura, vemos que la siguiente ecuación es válida:$$s\cos\alpha+{s\over\sin\alpha}=1+\cot \alpha\ .$ $ Esto lleva a$$s={\cos\alpha+\sin\alpha\over 1+\cos\alpha\sin\alpha}\ .$ $

Answer 2

OK, este es mi intento actual de una respuesta:

Considere la posibilidad de una plaza de la que es empujado hacia la esquina superior derecha de $S$. Las coordenadas de esta plaza son (donde $c:=cos(\alpha)$ e $s:=sin(\alpha)$):

• T (arriba): $(1-dc,1)$
• R (derecho): $(1,1-ds)$
• B (abajo): $(1-ds,1-dc-ds)$
• L (a la izquierda): $(1-dc-ds,1-dc)$

Debido a la simetría, es suficiente para el estudio de la gama: $0 < \alpha < \frac{\pi}{4} $ donde $0<s<c<1$.

Ahora, un método para decidir si un punto está en el polígono puede ser utilizado para decidir si $(0,0)$ es en la plaza, como una función de la $d$.

Utilizando el rayo de cruce método, tenemos que considerar la posibilidad de un rayo desde el origen, y comprobar cómo muchas veces este rayo cruza los lados del cuadro de arriba. Si el número es impar, entonces el origen es el interior de la plaza.

Considerar, como un rayo, el eje y negativo.

Suponga que $d<1$. En este caso, T R y L son todas por encima del origen, por lo tanto, el rayo no puede cruzar las líneas LT y TR. Además, el T R a y B están a la derecha del origen, por lo tanto, el rayo también puede cruzar las líneas de TR y RB.

Queda por comprobar si el eje y negativo cruza el lado de LIBRAS, es decir, la coordenada del origen está por encima de la línea LB. La ecuación del lado de la LB es:

$$ cy(x) = (c+s-d-dsc)-sx $$ $$ where: x \in [1-ds-dc,1-ds] $$

Si sustituimos $x=0$, obtenemos:

$$ cy(0) = c+s-d-dsc $$

Si este número es negativo, entonces el origen es sobre el lado LB, y el origen es el interior de la plaza. La condición para esto es:

$$ c+s-dc^2-dsc-ds^2 < 0 $$ $$ d > \frac{c+s}{1+sc} $$

(Una forma alternativa de llegar a la misma solución se describe en Robert la respuesta israelí).

Usted puede parcela de que la función aquí, el uso de esta línea:

a0=2&a1=(cos(x)+sin(x))/(1+sin(x)*cos(x))&a2=1/(sin(x)+cos(x))&a3=(cos(x)-sin(x))/(cos(x)^2)&a4=1&a5=4&a6=8&a7=1&a8=1&a9=1&b0=500&b1=500&b2=0&b3=0.79&b4=0&b5=2&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=14&e5=14&e6=13&e7=12&e8=0&e9=0&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=a0b0c0&g9=6080a0&h0=1&z

El mínimo es: $\alpha=\pi/4$, donde el límite inferior es de aproximadamente: $d>0.943$.

Para concluir: un cuadrado con $d\geq 1$ siempre contiene el origen.