Evaluando una integral definida por definición

Question

Tengo una función de área $A(x)$ se define como

$$A(x) = \int_{-1}^{x} (t^2 + 1)\space dt$$

... y me gustaría usar la definición de la integral definida a evaluar.

Comencé este camino $$A(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n { (t^2 + 1) {x - (-1) \over n}}\tag 1$$

Pensé que $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n {x +1 \over n }\tag 2$$ turns into $x + 1$, de modo que

$$A(x) = \lim_{n \to \infty} \space\sum_{k=1}^n { t^2}{x + 1 \over n} + x + 1\tag 3$$ y diciendo que $t = k{x + 1 \over n}$ sería $$A(x) = \lim_{n \to \infty} \space\sum_{k=1}^n { k^2 (x+1)^3 \over n^3} + x + 1\tag4$$

No estoy seguro de que si yo no tenía ningún error hasta aquí, y aún si yo no, no sé qué hacer ahora. Tal vez podría usar $$\sum_{k = 1}^{n} k^2 = {n(n + 1)(2n + 1) \over 6}\tag 5$$ pero para hacer eso, me gustaría, primero tiene que deshacerse de $n^2$ en el denominador.

Podría usted por favor, dame un amistoso patada en la cabeza para hacer lo correcto? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Recuérdalo

PS

Aquí,$$\int_a^b dt \, f(t) = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^n f \left [ a + (b-a) \frac{k}{n} \right ] $ y$a=-1$, para que la suma que nos interesa sea

PS

Puede verificar que esto es lo que obtiene al integrarse utilizando el teorema fundamental.

Answer 2

Mi cálculo es para que lo compare con lo que hizo, usaremos la definición, dejar que$f(t)=t^2+1$ y$x_k=-1+k\frac{x-(-1)}{n}$: $$ \begin{align}A(x)&= \int_{-1}^x (t^2+1)\\ \\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{x-(-1)}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)\\ \\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{x+1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\left(k\frac{x+1}{n}-1\right)^2+1\right)\\ \\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{x+1}{n}\sum_{k=1}^n \left(k^2\left(\frac{x+1}{n}\right)^2-2k\frac{x+1}{n}+2\right)\\ \\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{x+1}{n} \left(\left(\frac{x+1}{n}\right)^2\sum_{k=1}^nk^2-\frac{x+1}{n}\sum_{k=1}^n2k+\sum_{k=1}^n2\right)\\ \\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{x+1}{n} \left(\left(\frac{x+1}{n}\right)^2{n(n + 1)(2n + 1) \over 6}-\frac{x+1}{n}n(n+1)+2n\right)\\ \\ &=(x+1)\left(\frac{(x+1)^2}{3}-(x+1)+2\right)\\ \\ &=\frac{(x+1)(x^2-x+4)}{3}\end {align} $$