Una parte de $10$ se compone de $2$ de los Estadounidenses, $2$ hombres Británicos, $2$ Chino & $4$ de los hombres de otras nacionalidades (todos diferentes). Hallar el número de maneras en que se puede estar en una fila de modo que no hay dos hombres de la misma nacionalidad que el uno junto al otro. Encuentre el número de formas en que pueden sentarse en una mesa redonda.
Aquí, el primero, y yo trato de usar el método del déficit. Así organizar $5$ a crear espacios para dar cabida a todos, pero tenemos sólo cuatro de diferentes nacionalidades. Así que un método diferente debe ser utilizado.
Todas las permutaciones - permutaciones de las personas de un mismo país a estar juntos
Pero esto tiene casos como sólo un par, dos pares juntos y tres pares juntos. Que se superponen. Cómo manejar ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En una fila: Hay $10!$ formas de organizar a la gente. Contamos los malos arreglos, en los que dos están uno al lado del otro, o dos B, o dos C
Para hacer el recuento, utilizamos la Inclusión/Exclusión. Cuántos arreglos tienen los dos juntos? Ponlos en una bolsa. Ahora tenemos $8$ personas y $1$ bolsa. Estos se pueden organizar en $9!$ maneras. Entonces, cuando nos vamos a la Una de la bolsa, que pueden organizarse en $2$ formas, para un total de $2\cdot 9!$.
Hacer lo mismo para la B, la C, y se suman. Llegamos $3\cdot 2\cdot 9!$.
Sin embargo, tenemos el doble cómputo de los malos arreglos en los que, por ejemplo, la a y la B están juntos. Bolsas con el mismo argumento muestra que hay $2^2\cdot 8!$ este tipo de acuerdos, para un total de $3\cdot 2^2\cdot 8!$.
Por lo tanto nuestra siguiente estimación para el número de factores negativos es $3\cdot 2\cdot 9!-3\cdot 2^2\cdot 8!$.
Sin embargo, hemos restado uno muchas veces los arreglos en los que los están juntos, y el B, y C de. La ahora familiar de la técnica muestra que hay $2^3\cdot 7!$ de estos. Para volver a agregar $2^3\cdot 7!$.
Terminamos con $7!(6\cdot 9\cdot 8-12\cdot 8+8)$, que es $8!\cdot 43$.
Este es el número de arreglos malas. El número de acuerdos de buena es $10!-8!\cdot 43$, que es $8!\cdot 47$.
Mesa Circular: utilizamos la convención de que los dos órdenes se considera de la misma, si difieren por una rotación. Supongamos que uno de los "otros" es un Canadiense. Él/ella es, probablemente, demasiado educado para quejarse, por lo que se puede poner la de Canadá, en el peor de silla.
El resto de las sillas de ahora puede ser pensado como una línea. Tenemos $9$ de la gente, incluyendo a $3$ "otros" para poner en una línea, con la condición de que las dos a, dos B y dos C están separados. Mismo de Inclusión/Exclusión de la técnica.
Asientos en una fila (revisado)
Voy a nombrar a las personas de $3$ particular nacionalidades $A_1\;\; A_2\;\; B_1\;\; B_2\;\; C_1\;\; C_2$
Primera permutar $4$ de los hombres de las "otras" nacionalidades + $A_1,\;B_1,\;C_1\;$ en $7!$ maneras.
En el diagrama de abajo, $A_1$ se muestra en negro entre la $7$
$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\huge\bullet$$\huge\circ$$\uparrow\huge\circ$$\uparrow$
Dondequiera $A_1$ puede ser colocado, $A_2$ sólo ha $7-1 = 6 $ lugares donde se puede poner.
Del mismo modo, $B_2$ tienen $8-1 = 7$ lugares donde se puede poner, y $C_3$, $8$ lugares.
Por lo tanto el número de arreglos $= 7!\times(6\cdot7\cdot8) = 42*8!$
Anexo
Me he perdido un par de ubicaciones posibles por hacer caso omiso de aquellos en los que un "duplicado" se coloca junto con el "original" y "rescatado" por un futuro de colocación.
Supongamos que el primer duplicado se coloca junto a la original colocado un (a cada lado de la bola negra)
y rescatado por el segundo colocándolo en el medio,
entonces estamos añadiendo un extra de $7!(2\cdot1\cdot8)$ arreglos,
y si rescatado por la tercera, con un $7!(2\cdot7\cdot1)$
No, esto no está funcionando. Nose si de alguna manera este método puede ser extendido para llegar a la respuesta correcta, ahora mismo no soy capaz de ver un camino.
Utilizar el principio de inclusión y exclusión. Supongamos que un acuerdo tiene la propiedad$i$ si las personas de nacionalidad$i$ se sientan juntas, y desea que los acuerdos sin propiedades. Si, por ejemplo, los dos británicos, se sientan juntos, pueden considerarse uno y organizarse entre ellos en$2! = 2$ maneras.
Muchos problemas como este se puede hacer por el supuesto de que los hombres son todos de diferentes nacionalidades (o alguna otra distinción) y, a continuación, calcular el permutaciones de intercambio de los mismos hombres, y dividiendo por ella.
Si todos los hombres son diferentes, poniéndolos en una línea se puede hacer en $ 10! $ maneras. Así que la respuesta va a ser
$$ \dfrac{10!}{2!2!2!} $$
Los dos factoriales son la división por el mismo nacionalidades de los hombres.
Sin embargo, como usted ha señalado, cada hombre no debe estar junto a un hombre de la misma nacionalidad. Sus últimas frases están tratando de abordar el caso de los independientes de los casos, siendo el mismo.
Como una solución para esto, considere la posibilidad de hacer caso lo sabia. Colocar los hombres juntos en una línea se puede hacer en 9 maneras (creo que de los dos hombres, como una sola unidad). Esto significa que, con exclusión de los demás se colocan juntos, hemos
$$ \dfrac{9!}{2!2!} $$
formas de cada una de las nacionalidades pueden ser colocados juntos SIN que los demás se colocan juntos.
Si dos grupos son colocados juntos, los dos grupos de hombres a ser como una unidad. Por lo tanto tenemos una manera de colocar a los dos hombres, una manera de colocar los otros dos hombres, y la manera de ubicar el resto de los hombres, dividido por $ 2! $ durante los últimos hombres se colocan juntos. Que es como tener 8 objetos colocados, dividido por los dos de los últimos nacionalidad separada, por lo que tenemos
$$ \dfrac{8!}{2!} $$.
Por último, nos resta por el número de casos donde todos son adyacentes ilegalmente,
$$ 7! $$
lo que nos da un gran total de
$$ \dfrac{10!}{8} - 3* \dfrac{9!}{2!2!} - 3* \dfrac{8!}{2!} - 7! = 115,920 $$
Esto no está de acuerdo con las otras respuestas.
Para la primera, el número total de combinaciones es,$$ s = \frac{ 10!}{2!.2!.2!} $$ Now let A represent the group in which two Americans are together, B represent 2 British together and C represent group in which 2 Chinese are together, calculate $ A \ cup B \ cup C $ y restarlo de s.
Así que la respuesta final es$$ \frac{ 10!}{2!.2!.2!} - 3.\frac{9!}{2!.2!} + 3.\frac{8!}{2!} - 7! $ $
