Demuestre que no existe una secuencia de funciones convergentes puntuales a$\chi_{\mathbb Q}$

Question

Demostrar que no hay una secuencia de función continua en $[0,1]$ que converge pointwise a la función $f$ a $[0,1]$ definido por $f(x)=0$ si $x$ es racional y $f(x)=1$ si $x$ es irracional.

Lo que he intentado:

Por contradicción: Supongamos que, efectivamente, existe una(decir $f_n$) y tomemos $a$ en $[0,1]\cap \mathbb{Q}$,, a continuación, $f_n(a)$ enfoques $0$ al $n$ es lo suficientemente grande, decir $n\ge N$. Vamos a tomar, en particular,$n=N$. Desde $f_N$ es continua, existe un entorno de $a$, $(a-d,a+d)$, en que $f_N(x)$ es cerca de $f_N(a)$, y por lo tanto está cerca de a $0$. Tomemos ahora $b$ irracional en ese barrio. Entonces, para $n$ suficientemente grande,dicen $n\ge K$, $f_n(b)$ está cerca de $1$. Esta debe ser la contradicción, ya que $b$ sería al mismo tiempo cerca de $0$ e $1$ (supongamos que he elegido el derecho epsilons). El problema es que el $K$ puede ser mayor que el $N$, y así no hay ninguna contradicción. Si yo intente hacer la $N$ más grande, puedo modificar el $d$, de la cual se modifica el $b$, y por lo tanto no hay ningún sentido en este particular,$b$. También he tratado de aplicar continuidad a $f_k(x)$, pero el barrio en el que $f_k(x)$ es cerca de $f_k(b)$ (que es cerca de $1$) no tiene nada en común con la anterior barrio...

Deseo que usted me podría ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

Una función de $f$ que es la pointwise límite de una sucesión de funciones continuas (en $[0,1]$, por ejemplo) es una función de la primera clase de Baire. Una función de este tipo debe tener al menos una continuidad de punto. (De hecho, cada uno de no-trivial cerrado subinterval $[a,b]\subset[0,1]$ debe contener al menos una continuidad punto de $f$.) Ver este artículo . La prueba se basa en la categoría de Baire teorema; no sé de un simple argumento.

Su función no tiene puntos de continuidad, por lo que no puede ser el límite de una sucesión de funciones continuas.

Answer 2

Aquí está mi mejor intento:

Supongamos que $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es un punto de sabio convergente secuencia que converge a $f$. Deje $x \in [0,1]$ y WLOG, supongamos que $x$ es irracional.

Deje $\epsilon>0$. WLOG, supongamos que $\epsilon<1$.

1) Entonces existe $N_{1} \in \mathbb{N}$ tal que $b \in \mathbb{N}$ e $b>N_{1}$ implica que $|f_{b}(x)-f(x)|=|f_{b}(x)-1|<\frac{\epsilon}{2}$.

2) Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de funciones continuas, existe alguna $\delta>0$ tal que $|x-y|<\delta$ implica que el $|f_{b}(y)-f_{b}(x)|<\epsilon$ por cada $y \in [0,1]$. Deje $y \in [0,1]$ tal que $|x-y|<\delta$. A continuación, elija $p$ tal que $p \in \mathbb{Q}$ donde $x<p<y$.

4) Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es pointwise convergente, existe $N_{2} \in \mathbb{N}$ tal que $a \in \mathbb{N}$ e $a>N_{2}$ implica que $|f_{a}(p)-f(p)|=|f_{a}(p)|<\frac{\epsilon}{2}$.

5) Deje $N=max\{N_{1},N_{2}\}$. Supongamos que $n>N$. Por hipótesis, $|f_{n}(p)|<\frac{\epsilon}{2}$ e $|f_{n}(x)-1|<\frac{\epsilon}{2}$. Sin embargo, por (3), sabemos que $|f_{n}(x)-f_{n}(p)|<\epsilon$. Pero esto es claramente una contradicción.