atascado con el (último) paso de integración parcial para $\int x^2 e^{2x} \, dx$

Question

Estoy atascado con esta integral en el último paso de la integración parcial: \begin{align} \int x^2 e^{2x}\,dx & = \frac{1}{2}e^{2x}x^2-\int \frac{1}{2}e^{2x} 2x \,dx \\[6pt] & = \frac{1}{2}e^{2x}x^2-\int e^{2x} x \, dx \\[6pt] & = \frac{1}{2}e^{2x}x^2-\frac{1}{2}e^{2x}x-\int \frac{1}{2}e^{2x} \,dx\\[6pt] & = \frac{1}{2}e^{2x}x^2-\frac{1}{2}e^{2x}x- \frac{1}{2} \int e^{2x} \,dx \end{align} Tengo problemas con la evaluación de la integral final, especialmente con la factorización de las constantes (el $\frac{1}{2}$ para la integral. La solución de la última integral es $+\frac{1}{4}e^{2x}$ , pero parece que tengo un nudo en el cerebro y no consigo hacer bien el último paso, porque lo resolvería a $-\frac{1}{4}e^{2x}$ ... ¿Cómo se evalúa el último paso a positivo?

Answer 1

Utilizando la integración por partes en $\int x^2 e^{2x} dx$ dejamos que $u=x^2$ y $dv=e^{2x}dx$ . Por lo tanto, eso $du=2xdx$ y $v=\frac12 e^{2x}$ . Así,

$$\int x^2 e^{2x} dx = \frac12 x^2e^{2x}- \int xe^{2x}dx$$

Para la integral $\int xe^{2x}dx$ integramos de nuevo por partes. Para ello, dejemos que $u=x$ y $dv=e^{2x}dx$ para que $du=dx$ y $v=\frac12 e^{2x}$ . Entonces,

$$\int xe^{2x}dx=\frac12 x e^{2x}-\frac12 \int e^{2x}dx$$

utilizando $\int e^{2x}dx = \frac12 e^{2x}+C$ donde $C$ es una constante de integración, tenemos

$$\begin{align} \int x^2 e^{2x} dx & =\frac12 x^2e^{2x}- \int xe^{2x}dx\\ & =\frac12 x^2e^{2x}-\left(\frac12 xe^{2x}-\frac14 e^{2x}\right)+C \\ & =\frac12 x^2e^{2x}-\frac12 xe^{2x}+\frac14 e^{2x}+C \end{align}$$

Answer 2

Si te resulta más fácil, puedes encontrar el mismo resultado mediante la diferenciación bajo el signo integral. He aquí cómo:

En primer lugar, observe que $\partial_\beta e^{\beta x} = xe^{\beta x}$ y $\partial_\beta \partial_\beta e^{\beta x} = x^2e^{\beta x}$ . Entonces tenemos:

$$\begin{align}\int x^2 e^{\beta x}\,dx &= \int \partial_\beta \partial_\beta e^{\beta x}\,dx \\ &= \partial_\beta \partial_\beta \int e^{\beta x}\,dx \\ &= \partial_\beta \partial_\beta \frac {e^{\beta x}}{\beta} + C \\ &= \partial_\beta \frac{\beta xe^{\beta x}-e^{\beta x}}{\beta^2} + C \\ &= \frac{(xe^{\beta x}+\beta x^2 e^{\beta x}-x e^{\beta x})\beta^2-2\beta(\beta xe^{\beta x} -e^{\beta x})}{\beta^4} + C\end{align}$$

Ahora, dejemos que $\beta = 2$ y simplificar.

Aviso: Sé que la última expresión parece bastante compleja, pero se ha obtenido sólo con la regla del cociente, la regla del producto y la regla de la cadena, así que es bastante sencilla. De hecho, esto resalta lo que la diferenciación bajo el signo integral hace por ti -- convierte una integral que normalmente tomaría varios pasos (a veces varios pasos muy difíciles) en una fácil integral y luego una diferenciación que lleva varios pasos. Pero las derivadas suelen ser más fáciles que las integrales, así que eso no es tan malo.

Answer 3

Puede evaluar $$\int x^2 e^{2x}\, dx $$ identificando $$y= e^{-2x}\int x^2 e^{2x}\, dx$$ como solución particular de la ecuación diferencial $$y' + 2y = x^2. \tag 1$$ y buscar una solución de la forma $$y = ax^2 + bx + c, \quad y'= 2ax + b $$ subiendo en $(1)$ y equiparando los coeficientes obtenemos $$2ax + b + 2(ax^2 + b x + c) = x^2\to a = \frac 12, b = -\frac 12, c = \frac 14.$$ por lo tanto $$\int x^2 e^{2x}\, dx = \left(\frac 12 x^2 - \frac 12 x + \frac 14\right)e^{2x} + C$$