Probar la serie infinita

Question

$$ \frac{1}{x}+\frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3} + \frac{4}{x^4} + \cdots =\frac{x}{(x-1)^2} $$

Puedo sentirlo. No puedo probarlo. Lo he probado y parece que funciona. En cuanto al dominio, creo que podría ser $x>1$ La pregunta no lo especifica. Al introducir el LHS en Wolfram Alpha no se genera el RHS (se agota el tiempo de espera).

Answer 1

Considere $$ \sum_{n=0}^\infty y^n=\frac{1}{1-y}\quad;\quad\text{for}\ |y|<1.\tag1 $$ Diferenciando $(1)$ con respecto a $y$ produce $$ \sum_{n=1}^\infty ny^{n-1}=\frac{1}{(1-y)^2}.\tag2 $$ Multiplicando $(2)$ por $y$ produce $$ \sum_{n=1}^\infty ny^{n}=\frac{y}{(1-y)^2}.\tag3 $$ Ahora, conecte $y=\dfrac1x$ donde $|x|>1$ a $(3)$ produce $$ \large\color{blue}{\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{x^n}=\frac{x}{(x-1)^2}}. $$

Answer 2

Para $\;|x|<1\;$ :

$$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\implies \frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\implies$$

$$\implies\frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^n$$

Así que no: no tienes una igualdad allí...

Añadido a petición: Si $\;|x|>1\;$ entonces podemos hacer:

$$\frac x{(x-1)^2}=\frac1x\frac1{\left(1-\frac1x\right)^2}=\frac1x\left(\sum_{n=0}^\infty\frac1{x^n}\right)^2$$

Así que todavía no es la misma expresión que en la pregunta.

Answer 3

Pongamos esto en orden:

Para que la suma converja, $|x| > 1$ lo que significa $$\sum_{n=0}^\infty x^{-n} = \frac{x}{x-1}$$

Si se eleva al cuadrado se obtiene $$\frac{x^2}{(x-1)^2} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty x^{-(n+m)} $$ $$ = \sum_{r=0}^\infty (r+1)x^{-r}$$

(porque cada valor de $(n+m)$ se produce $(n+m+1)$ veces en la suma infinita (0 = 0+0, 1 = 1+0 o 0+1, 2=0+2 o 1+1 o 2+0, y así sucesivamente).

Dividir por $x$ da:

$$ \frac{x}{(x-1)^2} = \sum_{r=0}^\infty (r+1)x^{-(r+1)} $$

$$ = \frac1{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3} + ... $$

Answer 4

SUGERENCIA: para $|y|<1$

$$\sum_{n=0}^{\infty} n y^n=y\cdot\frac{d \sum_{n=0}^{\infty} y^n}{dy}=y\cdot\frac{d\left(\dfrac1{1-y}\right)}{dy}=\frac y{(1-y)^2}$$

Answer 5

Creo que una solución menos formal podría ser más comprensible.

considere $$ S_n= \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3} + \frac{4}{x^4} + \dots + \frac{n}{x^n}$$

$$ xS_n = 1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3} + \dots + \frac{n}{x^{n-1}}$$ entonces $$xS_n - S_n = 1+ (\frac{2}{x}-\frac{1}{x})+(\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x^2})+\dots+(\frac{n}{x^{n-1}}-\frac{n-1}{x^{n-1}}) - \frac{n}{x^n}$$ $$S_n(x-1) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}+\dots+\frac{1}{x^{n-1}} - \frac{n}{x^n}$$ Ahora hemos simplificado el problema a uno de series geométricas básicas, por lo que $$S_n(x-1) = T_{n-1} - \frac{n}{x^n}$$ donde $$T_{n-1} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}+\dots+\frac{1}{x^{n-1}}$$ $$\frac{T_{n-1}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}+\dots+\frac{1}{x^{n}}$$ $$T_{n-1} - \frac{T_{n-1}}{x} = 1 + (\frac{1}{x}-\frac{1}{x})+ (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2})+\dots - \frac{1}{x^n}$$ $$T_{n-1}(1-\frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{x^n}$$ $$T_{n-1}(\frac{x-1}{x}) = \frac{x^n-1}{x^n}$$ $$T_{n-1} = \frac{x^n-1}{x^n}\cdot(\frac{x}{x-1})$$ $$T_{n-1} = \frac{x^n-1}{x-1}\cdot(\frac{1}{x^{n-1}})$$ $$T_{n-1} = \frac{x-\frac{1}{x^{n-1}}}{x-1}$$ Así, $S_n(x-1)$ se convierte en $$S_n(x-1) = \frac{x-\frac{1}{x^{n-1}}}{x-1} - \frac{n}{x^n}$$ para $|x|\gt 0$ esto se convierte en $$\lim_{n\to\infty}S_n(x-1) = \lim_{n\to\infty}\frac{x-\frac{1}{x^{n-1}}}{x-1} - \frac{n}{x^n}$$ $$S(x-1) = \frac{x-\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x^{n-1}}}{x-1} - \lim_{n\to\infty}\frac{n}{x^n}$$ $$S(x-1) = \frac{x-0}{x-1} - 0 = \frac{x}{x-1}$$ $$S = \frac{x}{(x-1)^2}$$ He utilizado la regla de l'Hopital para evaluar $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{x^n}$ siendo un $\frac{\infty}{\infty}$ forma indeterminada

Esto me ayuda a entender el problema. Después, pasaría a componer una prueba más formal.