Supongamos que usted tiene un ser infinitamente largo solenoide de "apilar" los bucles de radio $a$. El campo magnético es entonces verdaderamente 0 fuera, y todas las líneas de campo están confinados en el interior del solenoide. Entonces, ¿cómo puede un exterior de bucle (de radio $b \ge a$) que rodea el solenoide puede "saber" que hay en realidad un cambio de campo magnético dentro del solenoide, ya que es completamente confinado ?
En primer lugar, el flujo magnético se define por la expresión :
\begin{equation}\tag{1}
\Phi_B \equiv \int_{\mathcal{S}_{\text{sol}}} \vec{B} \cdot d\vec{S},
\end{equation}
Donde $\mathcal{S}_{\text{sol}}$ es el solenoide transversal aera. Dado que el campo se desvanece fuera del solenoide, puede utilizar el bucle exterior aera $S_{\text{loop}}$ en su lugar, y expresar el campo magnético en términos del vector magnético-potencial : $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ :
\begin{equation}\tag{2}
\Phi_B = \int_{\mathcal{S}_{\text{loop}}} \vec{B} \cdot d\vec{S} = \int_{\mathcal{S}_{\text{loop}}} (\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot d\vec{S}.
\end{equation}
Por el teorema de Stokes, luego se tiene que el flujo magnético se expresa como una integral de línea alrededor del bucle :
\begin{equation}\tag{3}
\Phi_B \equiv \oint_{\mathcal{C}_{\text{loop}}} \vec{A}_{\text{outside}} \cdot d\vec{\ell}.
\end{equation}
El vector potencial no se desvanecen fuera del solenoide (debe ser continua a través del solenoide del límite) :
\begin{align}\tag{4}
\vec{A}_{\text{inside}} &= \frac{1}{2} \; \vec{B} \times \vec{r},
&\vec{A}_{\text{outside}} &= \frac{a^2}{2 \, \rho^2} \; \vec{B} \times \vec{r},
\end{align}
donde $a$ es el radio de la bobina y $\rho$ es la cilíndrica variable. $\vec{r}$ es el vector de posición de cualquier punto en el espacio, y $b \ge a$ es el bucle de radio. El uso de este vector potencial, es muy fácil comprobar que
\begin{align}
\vec{\nabla} \times \vec{A}_{\text{inside}} &= \vec{B},
&\vec{\nabla} \times \vec{A}_{\text{outside}} &= 0,
\end{align}
y la expresión (3) da $\Phi_B = \pi B \, a^2$.
Así, el bucle no sentir el campo magnético en sí, sino que puede interactuar con el vector potencial. La e.m.f es el tiempo de derivación del flujo :
\begin{equation}\tag{5}
\mathscr{E} = -\: \frac{d \Phi_B}{d t} = -\: \frac{d}{d t}(\pi B \, a^2) = -\: \pi \dot{B} \, a^2.
\end{equation}
Ahora, el correo.m.f sí mismo se define como la integral de línea del campo eléctrico inducido en el bucle la variable en el tiempo del campo magnético dentro del solenoide :
\begin{equation}\tag{6}
\mathscr{E} \equiv \oint_{\mathcal{C}_{\text{loop}}} \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = \pm \, E \; 2 \pi b,
\end{equation}
A continuación, llegamos $E(t) = \frac{a^2}{2 \, b} \; |\, \dot{B} \,|$ en el bucle, o
\begin{align}\tag{7}
\vec{E}_{\text{inside}}(t, \, \vec{r}) &= -\: \frac{\partial }{\partial t} \, \vec{A}_{\text{inside}} = -\: \frac{1}{2} \; \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \times \vec{r}, \\[18pt]
\vec{E}_{\text{outside}}(t, \, \vec{r}) &= -\: \frac{\partial }{\partial t} \, \vec{A}_{\text{outside}} = -\: \frac{a^2}{2 \, \rho^2} \; \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \times \vec{r}, \tag{8}
\end{align}
lo cual está de acuerdo con la ecuación de Maxwell :
\begin{align}\tag{9}
\vec{\nabla} \times \vec{E}_{\text{inside}} &= -\: \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \\[18pt]
\vec{\nabla} \times \vec{E}_{\text{outside}} &= 0. \tag{10}
\end{align}
Tome nota de que $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0$ en todas partes (hacer todas las detalladas cálculos para comprobar esto !). Así que la conclusión es que el bucle do indirectamente sentir el campo magnético del solenoide con la ayuda de su vector potencial, fuera del solenoide.
Complemento : Tomar nota de que $\vec{B}$ debe ser variables muy lentamente, o varía linealmente con la $t$, o de lo contrario habrá algunas ondas electromagnéticas fuera del solenoide ! Tenemos
\begin{equation}\tag{11}
\vec{\nabla} \times \vec{B}_{\text{outside}} = 0 = \mu_0 \, \vec{J}_{\text{outside}} + \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial}{\partial t} \, \vec{E}_{\text{outside}}.
\end{equation}
La densidad de corriente $\vec{J}$ se desvanece dentro y fuera del solenoide (y es singular en su límite !). Entonces la ecuación (11) y la expresión (8) dar
\begin{equation}\tag{12}
0 = \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial}{\partial t} \, \vec{E}_{\text{outside}} \propto \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \, \vec{B}}{\partial t^2}.
\end{equation}
Esto también es cierto en el interior del solenoide.
