Estoy atascado en el siguiente problema:
Demostrar que los vectores $\vec{\text{u}}_1$, $\vec{\text{u}}_2$, y $\vec{\text{u}}_3$ son linealmente independientes si y sólo si $$ \det \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{bmatrix} \neq 0 $$
Estoy teniendo problemas para elegir qué dirección ir sobre. Soy consciente de lo siguiente:
- El de arriba determinante es el equivalente al triple del producto de dichos vectores: $$ \vec{\text{u}}_1 \cdot (\vec{\text{u}}_2 \times \vec{\text{u}}_3) $$
Los tres vectores son linealmente independientes si la ecuación $$ a_1 \vec{\text{u}}_1 + a_2 \vec{\text{u}}_2 + a_3 \vec{\text{u}}_3 = 0 $$ tiene sólo la solución trivial.
Cualquiera de los dos vectores son linealmente independientes si su producto escalar es igual a 0.
Mi primer intento fue el uso de las tres combinaciones de productos de puntos para crear el siguiente sistema : \begin{gather*} a_1 x_1 x_2 + a_1 y_1 y_2 + a_1 z_1 z_2 = 0 \\ a_2 x_1 x_3 + a_2 y_1 y_3 + a_2 z_1 z_3 = 0 \\ a_3 x_2 x_3 + a_3 y_2 y_3 + a_3 z_2 z_3 = 0 \end{reunir*} y de alguna manera el trabajo en el determinante, pero siento que esta no es la forma correcta de hacerlo.
Otra idea era utilizar Sarrus' regla en el factor determinante para obtener una nueva ecuación a través del cual podía trabajar en mi camino hasta el segundo punto, pero que no parece tener ningún sentido.
Tal vez yo no puede ver el bosque por los árboles; no soy muy bueno en álgebra lineal pruebas. Estoy buscando una pista para ir en la dirección correcta.
