Cómo probar la desigualdad de $(1+\frac{1}{k(k+1)})^k \geq 1+\frac{1}{k+1}$

Question

Es la desigualdad $$\Big (1+\frac{1}{k(k+1)}\Big )^k \geq 1+\frac{1}{k+1}$$ is true for all $k \in \mathbb{N}$ ? I am proving this using binomial theorem on the right side but I don't know what to do in the middle since there are many terms and there is an exponent of $k$. Is there a better way to prove this one? Thanks. I think of using $AM \geq GM$ desigualdad, pero no sé cómo aplicarlo.Gracias De Nuevo.

Answer 1

$$ \left(1+\frac{1}{k(k+1)}\right)^k=\sum_{i=0}^k{k\elegir i}\frac{1}{(k(k+1))^i}=1+\frac{1}{k+1}+\text{ algo positivo} \ge 1+\frac{1}{k+1}. $$

Answer 2

Sugerencia de la desigualdad de Bernoulli y ver Calvin comentario......

Usted necesita la versión más fuerte de Bernoulli, es decir, aquella que dice que "con igualdad si y sólo si..."

Answer 3

En primer lugar, tenga en cuenta que $$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$ is a strictly increasing function on $(0,+\infty)$, by taking its derivative, which is $$\frac{(1+1/x)^x(-1+(1+x)\ln (1+1/x))}{1+x}$$

Por lo tanto, $f(k(k+1))>f(k+1)$. Ahora, toma la $(k+1)$-ésima raíz de cada lado y listo.