Espero que no voy a hacer una pregunta que ya ha sido pedido (y contestar).
Tengo que determinar cuántos subconjuntos de $[n]:=\{1,\dots,n\}$ del tamaño de la $k$ contienen exactamente un par de $(i,i+1)$ de los posteriores enteros. He utilizado el siguiente enfoque: vamos a $T=(t_1,\dots,t_n)\subset\{0,1\}^n$ ser una cadena binaria de longitud $n$, la identificación de un subgrupo de tamaño $k$ extraídas de $[n]$, es decir,$\sum_i t_i=k$. Para $T$ para cumplir con las condiciones establecidas anteriormente, debe ser el caso que $T$ contiene $k-2$ no consecutivas y un par de consecutivas.
Para construir dicha secuencia, he utilizado el método de estrellas y barras: en primer lugar, encontrar una secuencia de longitud $k-1$ sin números consecutivos y, a continuación, obtener una secuencia de longitud $k$ con una consecutivos pareja.
- Lugar $n-k$ ceros consecutivos en una cadena.
- Hay $n-k+1$ lugares donde: $k-1$ pueden ser colocados de forma que no son consecutivos, por lo tanto, hay $\binom{n-k+1}{k-1}$ secuencias de longitud $n-1$ con $k-1$ que no son consecutivos.
- Añadir un extra de uno cerca de la anterior. Para cualquier secuencia en la $(2.)$ hay $(k-1)$ posibilidades.
Total, que daría $(k-1)\times\binom{n-k+1}{k-1}$ posibilidades.
¿Esto tiene sentido? Gracias!