mientras estudiaba un problema de física encontré que asintóticamente la integral elíptica incompleta del tercer tipo, (usando las convenciones de Mathematica, donde se llama EllipticPi),
$ \Pi (n; \phi |m)= \int_0 ^{ \sin\phi } \frac {dt}{(1-nt^2) \sqrt {(1-mt^2)(1-t^2)}},$
que parece divergir logarítmicamente cuando $ \sin ^2 \phi $ enfoques $1/n$ se aproxima al logaritmo de la siguiente manera:
$ \lim_ { \epsilon \rightarrow 0} \left [ 2(n-1) \Pi\left (n; \arcsin \sqrt { \frac {1- \epsilon }{n}}|(2-n)n \right ) + \log\epsilon\right ]=C(n)$
donde $C(n)$ es una constante. Esta identidad (¿podría ser un nuevo descubrimiento?) la comprobé numéricamente y podría ser independiente del valor de $m$ .
Necesito saber la constante $C(n)$ en términos de algunas funciones conocidas (o constantes de integraciones independientes de $n$ ) si es posible, por el valor de $m$ dado. Mathematica no ayudará. ¿Hay alguna posibilidad de hacerlo? No tengo formación en esto, aparte del análisis de licenciatura y uso las integrales elípticas por primera vez aquí.
(por cierto, para grandes $n$ Puedo, al mirar el gráfico, ver $C(n)$ siendo de la forma $a+log(n+b)$ pero para $n$ alrededor de la unidad esto no encaja exactamente mientras que es similar (divergencia a menos infinito para pequeños $n$ incluido).
Edición reciente :
poniendo la integral elíptica y el logaritmo en la misma integral y haciendo lo que fue sugerido por el usuario8268, dividiéndolos en dos integrales no divisorias, ahora tengo problemas con la más complicada, vea mi comentario a la respuesta. ¿Puede alguien decirme si esta es una integral elíptica del tercer tipo o si Mathematica tiene razón cuando me da una mezcla de ellas (incluyendo raíces feas, haciendo imposible la evaluación del límite) y si es así, debe haber un error de cálculo o podría el consejo dado incluso no ser correcto?
notsoimportantdetails ( Antecedentes : Esto viene de querer evaluar una integral impropia (§) que conozco físicamente y veo numéricamente para converger. A su vez esta integral proviene de la diferencia de dos integrales divergentes. Mathematica no puede hacer la integral impropia de la combinación pero puede hacer la integral indefinida. Pero luego divide la integral otra vez y el resultado es la integral elíptica y el logaritmo, cada una divergente al hacer el límite. Mathematica no puede hacer el límite y como dije asombrosamente ni siquiera sabe que hay una divergencia para la integral elíptica. Cuando la integral elíptica y el logaritmo se juntan en una sola integral (use $-log \epsilon = \int_0 ^{ \sqrt { \frac {1- \epsilon }{n}}} \frac {2tn}{1-t^2n}dt$ o transformar la integral elíptica para obtener (o) abajo) estamos más o menos donde empezamos, supongo -bueno, mi versión de Mathematica incluso cuelga para la evaluación indefinida ahora.
Edita : Como tal vez todo lo que he hecho hasta ahora es complicarlo más, el problema original es evaluar la integral (§) de $ \frac {1- \sqrt {1- \frac { \text {r0} (-2 m+ \text {r0})}{x (-2 m+x)}}}{ \left (1- \frac {2 m}{x} \right ) \sqrt {1- \frac { \text {r0} (-2 m+ \text {r0})}{x (-2 m+x)}}}$ de $r0$ hasta el infinito, donde $r0>2m$ . Esto tiene la obvia división en dos integrales divergentes.
Para su referencia, la integral combinada (o) De lo que hablé al final, arriba dice $C(n)= \lim_ { \epsilon\rightarrow 0} \int_1 ^ \epsilon\frac {1 - n + \sqrt {(1 + n (-1 + t) - 2 t) (-1 + t) (-1 + n + t)}}{t \sqrt {(1 + n (-1 + t) - 2 t) (-1 + t) (-1 + n + t)}}$ donde la integración resolverá el problema proporcionando $C(n)$ ; $ \epsilon $ puede ser reemplazado por $0$ de inmediato ya que el límite existe.
notsoimportantdetails )