4 votos

Aproximación asintótica a la integral elíptica incompleta de tercera clase en un polo - determinar constante

mientras estudiaba un problema de física encontré que asintóticamente la integral elíptica incompleta del tercer tipo, (usando las convenciones de Mathematica, donde se llama EllipticPi),

$ \Pi (n; \phi |m)= \int_0 ^{ \sin\phi } \frac {dt}{(1-nt^2) \sqrt {(1-mt^2)(1-t^2)}},$

que parece divergir logarítmicamente cuando $ \sin ^2 \phi $ enfoques $1/n$ se aproxima al logaritmo de la siguiente manera:

$ \lim_ { \epsilon \rightarrow 0} \left [ 2(n-1) \Pi\left (n; \arcsin \sqrt { \frac {1- \epsilon }{n}}|(2-n)n \right ) + \log\epsilon\right ]=C(n)$

donde $C(n)$ es una constante. Esta identidad (¿podría ser un nuevo descubrimiento?) la comprobé numéricamente y podría ser independiente del valor de $m$ .

Necesito saber la constante $C(n)$ en términos de algunas funciones conocidas (o constantes de integraciones independientes de $n$ ) si es posible, por el valor de $m$ dado. Mathematica no ayudará. ¿Hay alguna posibilidad de hacerlo? No tengo formación en esto, aparte del análisis de licenciatura y uso las integrales elípticas por primera vez aquí.

(por cierto, para grandes $n$ Puedo, al mirar el gráfico, ver $C(n)$ siendo de la forma $a+log(n+b)$ pero para $n$ alrededor de la unidad esto no encaja exactamente mientras que es similar (divergencia a menos infinito para pequeños $n$ incluido).

Edición reciente :

poniendo la integral elíptica y el logaritmo en la misma integral y haciendo lo que fue sugerido por el usuario8268, dividiéndolos en dos integrales no divisorias, ahora tengo problemas con la más complicada, vea mi comentario a la respuesta. ¿Puede alguien decirme si esta es una integral elíptica del tercer tipo o si Mathematica tiene razón cuando me da una mezcla de ellas (incluyendo raíces feas, haciendo imposible la evaluación del límite) y si es así, debe haber un error de cálculo o podría el consejo dado incluso no ser correcto?

notsoimportantdetails ( Antecedentes : Esto viene de querer evaluar una integral impropia (§) que conozco físicamente y veo numéricamente para converger. A su vez esta integral proviene de la diferencia de dos integrales divergentes. Mathematica no puede hacer la integral impropia de la combinación pero puede hacer la integral indefinida. Pero luego divide la integral otra vez y el resultado es la integral elíptica y el logaritmo, cada una divergente al hacer el límite. Mathematica no puede hacer el límite y como dije asombrosamente ni siquiera sabe que hay una divergencia para la integral elíptica. Cuando la integral elíptica y el logaritmo se juntan en una sola integral (use $-log \epsilon = \int_0 ^{ \sqrt { \frac {1- \epsilon }{n}}} \frac {2tn}{1-t^2n}dt$ o transformar la integral elíptica para obtener (o) abajo) estamos más o menos donde empezamos, supongo -bueno, mi versión de Mathematica incluso cuelga para la evaluación indefinida ahora.

Edita : Como tal vez todo lo que he hecho hasta ahora es complicarlo más, el problema original es evaluar la integral (§) de $ \frac {1- \sqrt {1- \frac { \text {r0} (-2 m+ \text {r0})}{x (-2 m+x)}}}{ \left (1- \frac {2 m}{x} \right ) \sqrt {1- \frac { \text {r0} (-2 m+ \text {r0})}{x (-2 m+x)}}}$ de $r0$ hasta el infinito, donde $r0>2m$ . Esto tiene la obvia división en dos integrales divergentes.

Para su referencia, la integral combinada (o) De lo que hablé al final, arriba dice $C(n)= \lim_ { \epsilon\rightarrow 0} \int_1 ^ \epsilon\frac {1 - n + \sqrt {(1 + n (-1 + t) - 2 t) (-1 + t) (-1 + n + t)}}{t \sqrt {(1 + n (-1 + t) - 2 t) (-1 + t) (-1 + n + t)}}$ donde la integración resolverá el problema proporcionando $C(n)$ ; $ \epsilon $ puede ser reemplazado por $0$ de inmediato ya que el límite existe.

notsoimportantdetails )

7voto

user8268 Puntos 13913

Su $C(n)$ puede expresarse como una integral elíptica incompleta del 1er y 3er tipo. No haré todos los cálculos (habría muchos errores), sólo les diré una forma de hacerlo. Si digo que sustituya $u=1-nt^2$ tu integral es $$A \int\frac {du}{uy}$$ por alguna constante $A$ donde $$y^2=(1-au)(1-bu)(1-cu) \quad (*)$$ (para algunos $a,b,c$ ). Quieres saber $$ \int_0 ^d( \frac {1}{uy}- \frac {1}{u})du= \int_0 ^d \frac {1-y}{u} \frac {du}{y}= \int_0 ^d \frac {1-y-eu}{u} \frac {du}{y}+e \int_0 ^d \frac {du}{y}$$ para algunos $d$ ( $u=0$ corresponde a $ \sin ^2 \phi =1/n$ y eliminé la singularidad logarítmica) y para cualquier $e$ . La última integral es elíptica de la primera clase. La penúltima es una elíptica de la tercera clase en sentido amplio (para cualquier $e$ ), como $ \frac {1-y-eu}{u}$ tiene dos simples polos en la curva elíptica $(*)$ si quieres ponerlo en la forma normal, elige $e$ para que la línea $1-y-eu=0$ es tangente a la curva $(*)$ (para obtener un doble cero) y usar nuevas coordenadas $ \tilde u=u/(1-y-eu)$ , $ \tilde y= d \tilde u/(du/y)$ .

(ciertamente hay una forma mucho más práctica de hacerlo - soy más bien un teórico :)

2voto

Joe Gauterin Puntos 9526

Deje que $ \mathrm {sn}( \theta ) = \mathrm {sn}( \theta , \sqrt {m})$ , $ \mathrm {cn}( \theta ) = \mathrm {cn}( \theta , \sqrt {m})$ , $ \mathrm {dn}( \theta ) = \mathrm {dn}( \theta , \sqrt {m})$ ser el Las funciones elípticas de Jacobi asociado con $k = \sqrt {m} = \sqrt {n(2-n)}$ . Introducir la parametrización: $$ \theta = \int_ {0}^t \frac {dt}{ \sqrt {(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \rightarrow t = \mathrm {sn}( \theta ) $$ y dejar $ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2 = \frac {1}{n}$ podemos reescribir la integral como: $$ \Pi (n; \phi |k^2)= \mathrm {sn}( \theta_0 )^2 \int_0 ^{ \mathrm {sn}^{-1}( \sin\phi )} \frac {d \theta }{ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2- \mathrm {sn}( \theta )^2} $$ Por supuesto. $ \epsilon $ introducir $ \varphi $ , $ \psi $ de tal manera que $ \sin ( \varphi ) = \sqrt { \frac {1- \epsilon }{n}} = \mathrm {sn}( \psi )$ .
Aviso $$ \begin {align} \mathrm {cn}( \theta_0 ) &= \sqrt {1 - \mathrm {sn}( \theta_0 )^2} = \sqrt { \frac {n-1}{n}} \\ \mathrm {dn}( \theta_0 ) &= \sqrt {1 - k^2 \mathrm {sn}( \theta_0 )^2} = \sqrt {n-1} \\ \frac {d}{d \theta } \mathrm {sn}( \theta ) &= \mathrm {cn}( \theta ) \mathrm {dn}( \theta ) \\ \end {align} $$ Vemos $ \mathrm {cn}( \theta_0 ) = \mathrm {sn}( \theta_0 ) \mathrm {dn}( \theta_0 )$ y la expresión aparece dentro de la definición de $C(n)$ se convierte: $$ \begin {align} &2(n-1) \Pi\left (n; \varphi |k^2 \right ) + \log\epsilon\\ =& 2\, \mathrm {cn}( \theta_0 )^2 \int_0 ^{ \psi } \frac {d \theta }{ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2- \mathrm {sn}( \theta )^2} + \log (1- \frac { \mathrm {sn}( \psi )^2}{ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2} ) \\ =& \int_0 ^{ \psi } \frac {2 d \theta }{ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2- \mathrm {sn}( \theta )^2} ( \mathrm {cn}( \theta_0 )^2 - \mathrm {sn}( \theta ) \mathrm {cn}( \theta ) \mathrm {dn}( \theta ) ) \\ =& \int_0 ^{ \psi } \frac {2 d \theta }{ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2- \mathrm {sn}( \theta )^2} ( \mathrm {sn}( \theta_0 ) \mathrm {cn}( \theta_0 ) \mathrm {dn}( \theta_0 ) - \mathrm {sn}( \theta ) \mathrm {cn}( \theta ) \mathrm {dn}( \theta ) ) \end {align} $$ Ya que el numerador va a $0$ como $ \theta \to \theta_0 $ el $ \epsilon \to 0$ límite de la definición de $C(n)$ existe y está dada por: $$ C(n) = \int_0 ^{ \theta_0 } \frac {2 d \theta }{ \mathrm {sn}( \theta_0 )^2- \mathrm {sn}( \theta )^2} ( \mathrm {sn}( \theta_0 ) \mathrm {cn}( \theta_0 ) \mathrm {dn}( \theta_0 ) - \mathrm {sn}( \theta ) \mathrm {cn}( \theta ) \mathrm {dn}( \theta ) ) $$ No sé cómo simplificar esto más, pero al menos es un enfoque alternativo.

0voto

Andreas Finke Puntos 21

Finalmente, después de todo este tiempo, encontré la respuesta simplemente usando la segunda identidad en http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticPi3/17/01/ que generalmente expresa la integral elíptica incompleta de la 3ª clase con un término de una integral incompleta de la 3ª clase, un término de una integral incompleta de la 1ª clase y un logaritmo, que cancela el logaritmo en mi límite. El resultado tiene de hecho la forma sugerida por el usuario8268.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X