Cómo calcular el $\pi$ con una precisión de 10 decimales?

Question

Deje $a=3.00000000001234...$ (número irracional)

Si $\overline{a}=3.00000000001$ (aproximación $11$ lugares), a continuación, $|a-\overline{a}|<10^{-11}$

Tenga en cuenta que el recíproco no es satisfecho:

Si $\overline{a}=2.99999999998$ (aproximación $0$ lugares) sino $|a-\overline{a}|<10^{-10}$

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Cómo calcular el $\pi$ con una precisión de $10$ decimales ?

Tenga en cuenta que $|\pi-\overline{a}|<10^{-10}$ no se garantiza la precisión de un decimal de $\pi$.

$\overline{a}:$ aproximación

Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

La siguiente idea se puede generalizar para obtener mejores aproximaciones de $\pi$:

Por D. P. Dalzell

$$\int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2}\,\text{d}x=\frac{22}{7}-\pi$$

$$\frac{1}{1260} = \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{2}\,\text{d}x < \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2}\,\text{d}x < \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1}\,\text{d}x = {1 \over 630}.$$

Así tenemos $${22 \over 7} - {1 \over 630} < \pi < {22 \over 7} - {1 \over 1260}$$

Por lo tanto $3.1412... < \pi < 3.1421...$ en decimal de expansión, a continuación, $$\pi=3.14...$$

Precisión de 2 decimales.

Answer 2

Sugerencia: $\pi$ tiene una irracionalidad medida de no más de $7.6063$.

Answer 3

Su definición de número de lugares sólo tiene problemas de cerca "a la acreditación de la odómetro". Creo que sería más normal considerar $11$ lugares satisfecho cuando el decimal es dentro de$\frac 5{10^{12}}$, por lo que las rondas correctamente, incluso si el redondeo se propaga a lo largo de muchos lugares. Como $\pi \approx 3.141592653589793$ no hay renovación problema mayor que uno en estos lugares. Una vez que encuentre un dígito distinto de cero o nueve que están exentos de la transferencia.

Answer 4

es solo una idea:

Queremos aproximado $A=a_0.a_1a_2\ldots a_n \ldots$ con $B=b_0.b_1b_2\ldots b_n \ldots$.

Reivindicación 1: Si $0<A-B<10^{-n-1}$ e $b_{n+1}\neq 9$ entonces $a_k=b_k \; \forall k\le n$.

Reivindicación 2: Si $0<B-A<10^{-n-1}$ e $b_{n+1}\neq 0$ entonces $a_k=b_k \; \forall k\le n$.

Prueba de reclamación 1: Supongamos $b_k\neq a_k$ para algunos $k\le n$ (para el bien de la simplicidad que le suponga $a_n\neq b_n$ e $a_k=b_k$ si $k<n$, pero la prueba es similar en el caso general). Entonces

$$ 10^{n-1}>a-B=\sum_j (a_j -b_j)10^{-j}>10^{-n} - |a_{n+1}-b_{n+1}|10^{n-1} - 9 \sum_{j\ge n+2} 10^{j} \\>10^{-n} -8 * 10^{n-1} - 10^{n-1} =10^{n-1} $$ Una contradicción.