Resolver para $x$, redondeando a dos cifras significativas, la ecuación: $4^{x}-2^{x+1}-3=0$

Question

Resolver para $x$, redondeando a dos cifras significativas, la ecuación:

$$4^{x}-2^{x+1}-3=0$$

Mi respuesta: $x\log4=\log3+(x+1)\log2 \Rightarrow 0.602x-0.301x=0.477+0.301 \Rightarrow x = 2.6$ (en Conflicto con la libreta de respuesta)

Respuesta en el libro: $x=1.6$

Answer 1

Usted cometió un error en el primer paso. Echa un vistazo a los siguientes

$$\eqalign{ & {4^x} - {2^{x + 1}} - 3 = 0 \cr & {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2\left( {{2^x}} \right) - 3 = 0 \cr & \left( {{2^x} - 3} \right)\left( {{2^x} + 1} \right) = 0 \cr & \left\{ \matriz{ {2^x} = 3 \hfill \cr {2^x} = - 1,\,\,\,\texto{imposible} \hfill \cr} \right. \cr & x\ln 2 = \ln 3 \cr & x = {{\ln 3} \over {\ln 2}} = \log_{2}3 =1.584 \cr}$$

Answer 2

Usted cometió un error:

$$\log(a+b)\neq \log(a)+\log(b)$$

Usted probablemente está confundiendo esto con la ley correcta:

$$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$$

La manera de resolver este problema es dejar que $u=2^x$, entonces la ecuación se convierte en:

$$u^2-2u-3=0$$

Resolver esto por $u$, luego tomar registros se $x$

Answer 3

$\ln(x+y)\neq \ln(x)+\ln(y)$, como lo han hecho.

En su lugar, hacer la sustitución $y=2^x$. A continuación, aparecerá una ecuación cuadrática $y^2-2y-3=0$ (¿Por qué?) Mediante la resolución de $y$, se puede resolver para $x$ mediante el uso de logaritmos.

Answer 4

$f(x) = 4^x - 2^{x+1} - 3 = (2^x)^2 - 2^{x+1} - 3 = (2^x)^2 - 2(2^x) - 3$

Deje $y = 2^x \Rightarrow f(x) = y^2 - 2y - 3$

$f(x) = 0 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0 \Rightarrow (y-3)(y+1) = 0$

Las raíces de esta ecuación son $y = 3$ o $y = -1$. Desde $y = 2^x$, las soluciones en términos de $x$ se $2^x = 3$ o $2^x = -1$ por lo Tanto, las soluciones son o $\log _2 \left( 3 \right)$ o $\log _2 \left( -1 \right)$. El último es indefinido, por lo que su respuesta es $\log _2 \left( 3 \right)$ que es igual a $1.6$ a 2 cifras significativas. Por lo tanto, $x = 1.6$ y la respuesta en el libro es la correcta.

Answer 5

Poner 2^x = Z y la ecuación se reduce a Z^2-2Z-3=0

Por lo tanto, Z=3 o -1

La única solución es 2^x=3, lo que significa que x=Log2(3)=1.584