Demostrando la existencia de una plaza libre de secuencia

Question

Me encontré con este problema y una solución de croquis en un MathOverflow respuesta, y pensé que era lo suficientemente bueno para merecer más atención y una adecuada solución.

Problema:

Demostrar que para cada número natural $n$, hay algún número natural $r$ para que el $n$ enteros $r+1^2,r+2^2,…r+n^2$ son todos cuadrados.

Answer 1

Deje $p_1, p_2, \cdots , p_k$ ser todos los números primos menos de $n^2$ (para algunos $k$). Para cualquier $K > k$, vamos a $p_{k+1}, p_{k+2}, \cdots , p_K$ ser el próximo primer número después de que (más grande que la de $n^2$).

Para $1 \le i \le k$, existe al menos un valor de $r$ $\pmod {p_i^2}$ que satisface $r + 1^2, r+2^2, \cdots , r+n^2 \not \equiv 0$ (es decir, hay al menos uno, viable, posible resto de $r$.) Para ver esto, observe que las plazas modulo $p_i^2$ no incluyen $p_i$, lo que la configuración de $r \equiv -p_i$ es suficiente.

Para $k+1 \le i \le K$, los números de $1^2, 2^2, \cdots , n^2$ son todos distintos $\pmod {p_i}$, debido a $p_i > p_{k+1} > n^2$. Por lo tanto, no son exactamente $(p_i^2 - n)$ viable posibilidades de $r \pmod {p_i}$.

Ahora vamos a $N = p_1^2p_2^2p_3^2\cdots p_K^2$. Por el teorema del resto Chino, hay al menos $$(1)(1) \cdots (1)(p_{k+1}^2 - n)(p_{k+2}^2 - n)\cdots (p_{K}^2 - n)$$

opciones viables para $r$ modulo $N$ (nos referimos a los valores de $r$ modulo $N$ que causan $r + 1^2, r + 2^2, \cdots r+n^2$ libre de cuadrados de todos los números primos $p_1, \cdots ,p_K$). Para cualquier $K$, podemos definir $$ x_K := \frac{\text{Número de opciones viables para } r \text{ mod } N}{N} $$ en el que se evalúa a $$ \frac{(p_{k+1}^2 - n)(p_{k+2}^2 - n)\cdots (p_{K}^2 - n)}{p_1^2p_2^2p_3^2\cdots p_K^2} = \frac{1}{p_1}\frac{1}{p_2} \cdots \frac{1}{p_k} \left(1 - \frac{n}{p_{k+1}^2}\right)\cdots \left(1 - \frac{n}{p_K^2}\right) $$

El infinito producto $\lim_{K \to \infty} \left(x_K \right)$ converge a un número positivo, y las opciones viables para $r$ modulo $N$ para el primer $K+1$ de los números primos es un subconjunto de las opciones viables para $r$ modulo $N$ para el primer $K$ primos de cualquier $K$. Por lo tanto, hay infinitamente muchos de los valores de $r$ que trabajo para cada$K$. En particular, existe al menos un entero positivo $r$ tal que $r + 1^2, r+2^2, \cdots r+n^2$ son squarefree.