Integral sobre la $\mathbb{R}^n$

Question

La siguiente función es dado:

\begin{align} f(n)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp(-\vec{x}\dot{}\vec{x})\mathrm{d}x \end{align}

Porque es sabido que los $f(1)=\sqrt{\pi}$, también es fácil demostrar que los $f(n)=\pi^{\frac{n}{2}}$:

\begin{align} f(n)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp(-\vec{x}\dot{}\vec{x})\mathrm{d}x=\prod_{i=1}^n \int\limits_{\mathbb{R}}\exp(-x_i^2)\mathrm{d}x_i=\prod_{i=1}^n\sqrt{\pi}=\pi^{\frac{n}{2}} \end{align}

Ahora mi pregunta: ahora es fácil evaluar la $f(0)=1$ con la nueva fórmula. Escrito con nuestra inicial integral, esto sería:

\begin{align} f(0)=\int\limits_{\mathbb{R}^0}\exp(-x^2)\mathrm{d}x=1 \end{align}

Pero es esta integral válido? O qué sentido? El $x$-"vector" ahora es 0-dimensional, lo que significa que el producto en sí es, probablemente, 0:

\begin{align} f(0)=\int\limits_{\mathbb{R}^0}\exp(-0)\mathrm{d}x=\int\limits_{\mathbb{R}^0}1\mathrm{d}x=1 \end{align}

Es esto válido? Y es incluso posible integrar más de $\mathbb{R}^0$? Porque como sé que $\mathbb{R}^0$ sólo contiene un "vacío" elemento".

Y ahora mi segunda pregunta: ¿Cuál es el caso, por cualquier otro $n$. E. g. $f(\sqrt{2})=\pi^\frac{1}{\sqrt{2}}$? Esta sería la siguiente integral:

\begin{align} f(0)=\int\limits_{\mathbb{R}^\sqrt{2}}\exp(-\vec{x}\dot{}\vec{x})\mathrm{d}x=\pi^\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}

$\vec{x}$ ahora sería de $\sqrt{2}$-dimensional. Es esto válido? O puede que no este "back-transformación" a la integral se hace?

Muchas gracias

Answer 1

La definición que han dado en $f(n)$ es para enteros positivos sólo. Hay un sentido real en el que de hecho puede ser extendido a $n=0$ para dar un valor de $1$. Es decir, que $\Bbb R^0 = \{0\}$, y "cero-dimensional" la medida es contar, lo que facilita la integración sólo un número finito de suma, en este caso en un solo elemento, por lo que el valor que se obtiene es de ese elemento, que es $1$.

Pero no hay ningún significado convencional para $\Bbb R^{1/2}$, mucho menos de $\Bbb R^{\sqrt 2}$. No hay tal cosa como la dimensión fraccional. De hecho, hay varias variantes, pero ninguno de ellos (que yo sepa) que le da sentido a $\Bbb R^p$ al $p$ no es un número entero no negativo.

Así que antes de que usted puede discutir si la fórmula se mantiene cuando se $n$ no es entero, primero tiene que especificar lo $\int_{R^n}e^{-x\cdot x}dx$ se supone que significa cuando $n$ no es un iteger.