Cómo explicar las diferentes formas de Hamilton-Jacobi ecuación?

Question

En Arnold Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, que se deriva de la de Hamilton-Jacobi ecuación (FINALMENTE) el uso de una generación de función $S_1(Q, q)$ para obtener

$$ H\left(\frac{\partial S_1(P, q)}{\partial q}, p, t \right) ~=~ K(Q, t). $$

Sin embargo, esto es diferente de lo que he visto en otros textos de física. Por ejemplo, Goldstein utiliza la generación de la función $S_2(q, P, t)$ para obtener la ecuación

$$ H\left(\frac{\partial S_2(q, P, t)}{\partial q}, p, t\right) ~=~ - \frac{\partial S_2(q, P, t)}{\partial t}. $$

¿Por qué existe esta diferencia? Son las dos ecuaciones diciendo la misma cosa?

Answer 1

Los puntos principales son:

1. Estamos estudiando una Canónica de Transformación(CT) $$(q,p) \longrightarrow (Q,P) $$ desde la edad canónica de coordenadas $(q,p)$ y Hamiltonianos $H(q,p,t)$ a las nuevas coordenadas canónicas $(Q,P)$y Kamiltonian $K(Q,P,t)$.

2. $S_1(q,Q,t)$ es de los denominados de tipo 1 la generación de la función de la CT.

3. $S_2(q,P,t)$ es de los denominados de tipo 2 generación de la función de la CT.

4. Los dos tipos de generación de función están conectados a través de una transformación de Legendre $$S_2(q,P,t)-S_1(q,Q,t)~=~Q^i P_i. $$

5. Para los cuatro tipos de funciones de generación sostener que $$K-H~=~\frac{\partial S_i}{\partial t},\qquad i~=~1,2,3,4. $$

6. Goldstein, de la Mecánica Clásica, que utiliza $S_2(q,P,t)$ en el tratamiento de Hamilton-Jacobi ecuación. Goldstein se supone que el Kamiltonian $K=0$ se desvanece de forma idéntica.

7. Arnold, Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, que utiliza $S_1(q,Q,t)$ en la Sección 47 $S_2(q,P,t)$ en la Sección 48. Arnold se supone (entre otras cosas) que $S_1(q,Q,t)$, que no depende explícitamente en $t$.