La derivación de Goldstein del "principio de mínima acción

Question

Quiero hacer una pregunta puntual y es sobre La derivación de la expresión

$$ \Delta\int_{t_1}^{t_2} Ldt=L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt. \tag{8.74}$$

Puedes encontrarlo en la sección 8-6 de Mecánica Clásica de Goldstein.

De alguna manera la expresión anterior viene de

$$ \Delta\int_{t_1}^{t_2} Ldt= \int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt - \int_{t_1}^{t_2} L(0) dt \tag{8.73}$$

pero no estoy completamente seguro de cómo

$$ L(\alpha) $$ significa una trayectoria variada y $$ L(0) $$ significa el camino real.

Answer 1

Ya hay varias respuestas buenas que muestran el álgebra. Aquí haremos algunos comentarios a la pregunta (v4) sobre la terminología y la notación, que pueden aclarar una o dos cosas. (En lo que sigue nos referimos a la $q$ espacio de posición como el vertical espacio y el $t$ eje del tiempo como el horizontal espacio).

1. Por lo general, el principio de mínima acción se refiere al principio de acción estacionaria/principio de Hamilton $$ \delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~0. \tag{2.2} $$ En este principio variacional, la variación infinitesimal $\delta q^i$ es puramente vertical $\delta t=0$ y los tiempos inicial y final $t_i$ y $t_f$ se mantienen fijos.

2. Nótese que lo que Goldstein en la Ref. 1 llama confusamente el principio de mínima acción suele llamarse principio de acción abreviada/principio de Maupértuis $$ \Delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~p_j \dot{q}^j~~=~0, \tag{8.80}$$ Véase, por ejemplo, la Ref. 2. En este principio variacional, la variación infinitesimal $$ \Delta q^j~=~ \delta q^j + \dot{q}^j \Delta t \tag{8.76} $$ se compone ahora de variaciones verticales y horizontales. La energía total $E$ de todas las trayectorias se mantiene fija e igual; mientras que los tiempos inicial y final $t_i$ y $t_f$ son gratis.

3. Para sistemas autónomos los dos principios variacionales anteriores pueden verse como Transformadas de Legendre entre sí con respecto a las variables duales de Legendre $$E\quad\longleftrightarrow\quad \Delta t~:=~t_f-t_i.$$ En ambos principios variacionales, solemos mantener las posiciones inicial y final $q^j_i$ y $q^j_f$ arreglado.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica clásica; Sección 8.6.

2. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976; $\S 44$ .

Answer 2

Puedes romper $\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$ en $\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} +\int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$ . Entonces, de estas tres piezas, la $\int_{t_1}^{t_2}$ se combina con el $-\int_{t_1}^{t_2} L(0) dt$ pieza para darle la $\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$ .

Esto significa que $\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$ debe darle $L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1$ . Veamos cómo sucede. En general, tenemos $\int_x^{x+h} f(x) dx = F(x+h)-F(x) \approx F'(x)h = f(x)h$ , donde $F$ es una antiderivada de $f$ . Aplicando esto a $\int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$ obtenemos $L(t_2)\Delta t_2$ . Obsérvese que no hemos especificado si $L$ en esta expresión debe ser evaluado en el camino real o variado. Esto se debe a que esas trayectorias son muy cercanas entre sí, por lo que no importa al nivel de aproximación que estamos haciendo. De todos modos, la evaluación de la $t_1$ pieza, encontramos $\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1}L(\alpha) dt=-\int_{t_1 }^{t_1+ \Delta t_1}L(\alpha) dt = -L(t_1)\Delta t_1$ .

Sumando las dos piezas resultantes del párrafo anterior a la pieza resultante del primer párrafo, obtenemos $L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$ que es lo que queríamos.