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La derivación de Goldstein del "principio de mínima acción

Quiero hacer una pregunta puntual y es sobre La derivación de la expresión

$$ \Delta\int_{t_1}^{t_2} Ldt=L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt. \tag{8.74}$$

Puedes encontrarlo en la sección 8-6 de Mecánica Clásica de Goldstein.

De alguna manera la expresión anterior viene de

$$ \Delta\int_{t_1}^{t_2} Ldt= \int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt - \int_{t_1}^{t_2} L(0) dt \tag{8.73}$$

pero no estoy completamente seguro de cómo

$$ L(\alpha) $$ significa una trayectoria variada y $$ L(0) $$ significa el camino real.

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Stefano Puntos 763

Ya hay varias respuestas buenas que muestran el álgebra. Aquí haremos algunos comentarios a la pregunta (v4) sobre la terminología y la notación, que pueden aclarar una o dos cosas. (En lo que sigue nos referimos a la $q$ espacio de posición como el vertical espacio y el $t$ eje del tiempo como el horizontal espacio).

  1. Por lo general, el principio de mínima acción se refiere al principio de acción estacionaria/principio de Hamilton $$ \delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~0. \tag{2.2} $$ En este principio variacional, la variación infinitesimal $\delta q^i$ es puramente vertical $\delta t=0$ y los tiempos inicial y final $t_i$ y $t_f$ se mantienen fijos.

  2. Nótese que lo que Goldstein en la Ref. 1 llama confusamente el principio de mínima acción suele llamarse principio de acción abreviada/principio de Maupértuis $$ \Delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~p_j \dot{q}^j~~=~0, \tag{8.80}$$ Véase, por ejemplo, la Ref. 2. En este principio variacional, la variación infinitesimal $$ \Delta q^j~=~ \delta q^j + \dot{q}^j \Delta t \tag{8.76} $$ se compone ahora de variaciones verticales y horizontales. La energía total $E$ de todas las trayectorias se mantiene fija e igual; mientras que los tiempos inicial y final $t_i$ y $t_f$ son gratis.

  3. Para sistemas autónomos los dos principios variacionales anteriores pueden verse como Transformadas de Legendre entre sí con respecto a las variables duales de Legendre $$E\quad\longleftrightarrow\quad \Delta t~:=~t_f-t_i.$$ En ambos principios variacionales, solemos mantener las posiciones inicial y final $q^j_i$ y $q^j_f$ arreglado.

Referencias:

  1. H. Goldstein, Mecánica clásica; Sección 8.6.

  2. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976; $\S 44$ .

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Sé que Goldstein es probablemente la referencia habitual para la mecánica clásica, pero ¿cree que es suficientemente rigurosa, por ejemplo, en comparación con la versión de Landau?

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Para ser sinceros, ambos libros no son perfectos ni sencillos de leer. Como siempre que se lee un libro de texto de física, el lector no obtendrá una comprensión completa simplemente leyendo el texto de principio a fin. Tendrá que reflexionar profundamente sobre lo que lee, y unir la lógica de lo que sólo se dice entre líneas. En particular, el rigor matemático no se discute explícitamente en ninguno de los dos libros de texto de física. Se da a entender implícitamente que el lector debe comprender las deficiencias de cualquier derivación realizada.

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Como referencia general, ¿cuál recomendaría?

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Niels Bosma Puntos 200

Puedes romper $\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$ en $\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} +\int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$ . Entonces, de estas tres piezas, la $\int_{t_1}^{t_2}$ se combina con el $-\int_{t_1}^{t_2} L(0) dt$ pieza para darle la $\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$ .

Esto significa que $\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$ debe darle $L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1$ . Veamos cómo sucede. En general, tenemos $\int_x^{x+h} f(x) dx = F(x+h)-F(x) \approx F'(x)h = f(x)h$ , donde $F$ es una antiderivada de $f$ . Aplicando esto a $\int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$ obtenemos $L(t_2)\Delta t_2$ . Obsérvese que no hemos especificado si $L$ en esta expresión debe ser evaluado en el camino real o variado. Esto se debe a que esas trayectorias son muy cercanas entre sí, por lo que no importa al nivel de aproximación que estamos haciendo. De todos modos, la evaluación de la $t_1$ pieza, encontramos $\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1}L(\alpha) dt=-\int_{t_1 }^{t_1+ \Delta t_1}L(\alpha) dt = -L(t_1)\Delta t_1$ .

Sumando las dos piezas resultantes del párrafo anterior a la pieza resultante del primer párrafo, obtenemos $L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$ que es lo que queríamos.

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