Puedes romper $\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$ en $\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} +\int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$ . Entonces, de estas tres piezas, la $\int_{t_1}^{t_2}$ se combina con el $-\int_{t_1}^{t_2} L(0) dt$ pieza para darle la $\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$ .
Esto significa que $\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$ debe darle $L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1$ . Veamos cómo sucede. En general, tenemos $\int_x^{x+h} f(x) dx = F(x+h)-F(x) \approx F'(x)h = f(x)h$ , donde $F$ es una antiderivada de $f$ . Aplicando esto a $\int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$ obtenemos $L(t_2)\Delta t_2$ . Obsérvese que no hemos especificado si $L$ en esta expresión debe ser evaluado en el camino real o variado. Esto se debe a que esas trayectorias son muy cercanas entre sí, por lo que no importa al nivel de aproximación que estamos haciendo. De todos modos, la evaluación de la $t_1$ pieza, encontramos $\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1}L(\alpha) dt=-\int_{t_1 }^{t_1+ \Delta t_1}L(\alpha) dt = -L(t_1)\Delta t_1$ .
Sumando las dos piezas resultantes del párrafo anterior a la pieza resultante del primer párrafo, obtenemos $L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$ que es lo que queríamos.