¿Es $ 0.112123123412345123456\dots $ algebraica o trascendental?

Question

Deje que $$x=0.112123123412345123456\dots $$ Desde la expansión decimal de $x$ es no termina y no se repiten, claramente $x$ es un número irracional.

Puede ser demostrado si $x$ es algebraicas y trascendentales de más de $\mathbb{Q}$ ? Creo que $x$ es trascendental más de $\mathbb{Q}$. Pero no sé cómo formalmente probarlo. Podría alguien darme alguna ayuda ? Cualquier sugerencias/ideas son muy apreciadas. Gracias de antemano por las respuestas.

Mi Número:

$$x=0.\underbrace{1}_{1^{st}\text{ block}}\overbrace{12}^{2^{nd}\text{ block}}\underbrace{123}_{3^{rd}\text{ block}}\overbrace{1234}^{4^{th}\text{ block}}\dots \underbrace{12\dots n}_{n^{th}\text{ block}}\dots $$ donde $n^{th}$ es el bloque de primeros $$ n enteros positivos por cada $n\in \mathbb{Z}^+$.

(Que es el 10 de bloque de $x $ es $12345678910$; El 11 de bloque es de $1234567891011$; ... )

Answer 1

Creo que su número puede ser escrito como

$$ \sum _ {j = 1} ^ \infty 10 ^ {-\sum _ {m = 1} ^ {j + \frac {1} {2}} \sum _ {n = 1} ^ m \left\lceil \log _ {10} (n + 1) \right\rceil} c \left\lfloor 10 ^ {\sum _ {n = 0} ^ j \left\lceil \log _ {10} (n + 1) \right\rceil} \right\rfloor$$

donde $c$ es la constante de Champernowne.

No sé si eso ayuda.

Answer 2

Su número puede ser escrito con la siguiente fórmula: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sum_{r=1}^n r(10)^{n-r}}{10^{\frac{n(n+1)} {2}}} $$ no sé demostrarlo es trascendental, pero espero que esto ayude!

Answer 3

$\lim_{n\to \infty}$ del bloque de"n" será igual a los mismos dígitos exactamente como la constante de Champernowne. La constante de Champernowne es trascendental, por lo que no importa lo que viene antes de sus dígitos su número será trascendental.