Supongamos que$p_n(x)$ es una secuencia de polinomios que convergen en una función$f$, uniformemente en$\mathbb{R}$. Demuestra que$f$ es un polinomio.
Si hubiera un límite uniforme$M$ en el grado de$p_n(x)$, entonces al diferenciar término por término, podríamos mostrar que$\partial_x^M f \equiv 0$, y$f$ es un polinomio. Pero en ausencia de tal límite, no estoy seguro ...
La secuencia$(p_n)$ satisface el criterio de Cauchy uniforme; así que uno puede encontrar$n_0$ de tal manera que para todos los$n\geq n_0$, tenemos$\sup_{x\in\mathbb R} \vert p_n(x)-p_{n_0}(x)\vert\leq 1$. Ahora, una función polinomial está limitada a$\mathbb R$ solo si es constante. Entonces para$n\geq n_0$ tenemos$p_n(x)=p_{n_0}(x)+c_n$ para alguna constante$c_n$. Dado que$p_n\to f$ puntualmente, la secuencia$(c_n)$ es convergente con el límite$c=f(0)-p_{n_0}(0)$ y tenemos$f(x)=p_{n_0}(x)+c$ para todos$x\in\mathbb R$.
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