Calculando el pH para la titulación de una base débil con un ácido fuerte

Question

Calcula el pH en el punto de equivalencia para la titulación de $\pu{0.130 M}$ de metilamina ($\ce{CH3NH2}$) con $\pu{0.130 M}$ de $\ce{HCl}$. El $K_\mathrm{b}$ de la metilamina es ${5.0 \cdot 10^{–4}}$.

Así que empecé con la ecuación:

$$\ce{HCl + CH3NH2 <=> CH3NH3+ + Cl-}$$

y entonces supe que

$$\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_\mathrm{a} + \log \left(\frac{\ce{[base]}}{\ce{[ácido]}} \right)$$

Entonces, puse ${\log \left(\frac{0.130}{0.130}\right) = \log 1 = 0}$ y luego lo añadí al $\mathrm{p}K_\mathrm{a}$, que obtuve de la ecuación

$$\mathrm{p}K_\mathrm{a} = \frac{K_\mathrm{w}}{K_\mathrm{b}} \quad \rightarrow \quad \mathrm{p}K_\mathrm{a} = -\log(K_\mathrm{a})$$

Sin embargo, después de introducir esos valores para obtener un $\mathrm{pH}$, resultó ser incorrecto y luego los comentarios dijeron que al titular una base débil con un ácido fuerte, el volumen se duplica en el punto de equivalencia y las concentraciones se dividen por la mitad.

¿Por qué es esto? Ahora sé que mi ecuación original estaba equivocada y debería ser

$$\ce{CH3NH3+ <=> H+ + CH3NH2}$$

y a partir de ahí debería hacer una tabla ICE con una concentración de $\pu{0.0650 M}$.

Answer 1

En primer lugar, cuando titulas una base débil (metilamina) con un ácido fuerte, la ecuación de titulación es: $$\ce{H+(aq) + CH3NH2 -> CH3NH3+}$$ La reacción de titulación, como puedes ver, es total y cuantitativa. La constante del equilibrio mencionado es: $$ K=\frac{K_\mathrm b}{K_\mathrm w}= 5\times 10^{10} \gg 10^3$$ Según la estequiometría de la ecuación de neutralización, en el punto de equivalencia: $n_{\mathrm{ácido}}=n_{\mathrm{base}}$ $$ C_{\mathrm{ácido}}.V_{\mathrm{ácido}}=C_{\mathrm{base}}.V_{\mathrm{base}}$$

Como la concentración inicial de la base es igual a la concentración inicial del ácido, el volumen del ácido en el punto de equivalencia es igual al volumen de la base: $$ V_{\mathrm{ácido}}^{equiv.}=V_{\mathrm{base}}$$ Puedes ver que el volumen total se duplica.

Ahora, calculemos el $\mathrm{pH}$ en el punto de equivalencia: Tenemos un ácido débil a una concentración inicial $$C_{\ce{CH3NH3+}}=\frac{C_{\mathrm{base}}.V_{\mathrm{base}}}{V_{\mathrm{base}}+V_{\mathrm{ácido}}}=\frac{C_{\mathrm{base}}.V_{\mathrm{base}}}{2V_{\mathrm{base}}}=\frac{C_{\mathrm{base}}}{2}= \frac{0.13}{2} = \pu{0.065 M}$$ Está en equilibrio con su base conjugada: $$\ce{CH3NH3+<=>H+(aq) + CH3NH2}$$ El ácido está parcialmente disociado:$$ [\ce{CH3NH3+}]= 0.065-x$$ $$ [\ce{CH3NH2}]=x$$ $$ [\ce{H+(aq)}]=x$$ Escribamos la constante de este equilibrio: $$K_\mathrm a= 0.2\times 10^{-10}= \frac{x^2}{0.065-x}$$ Resolvemos esta ecuación de segundo orden para encontrar $x$, la concentración de iones de hidronio. Encontramos: $\mathrm{pH}= 5.94$