Bijección desde$\textrm{GL}_n/O_n$ en el conjunto de matrices simétricas.

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo con carácter $\neq 2$, y deje $O_n$ ser el grupo ortogonal de matrices, es decir, invertir matrices cuya inversa es su transpuesta. Deje $\textrm{GL}_n/O_n$ el conjunto de la izquierda cosets de $O_n$ en $\textrm{GL}_n$. Hay una natural bijection $f$ de $\textrm{GL}_n/O_n$ en el conjunto de simétrica $n$ por $n$ matrices?

Mi primera conjetura sería asociar con un $x \in \textrm{GL}_n$ de la simetría de la matriz de $xx^t + x^tx$. Entonces si $yx^{-1} \in O_n$,, a continuación, $1 = (x^{-1})^ty^tyx^{-1}$ implica $x^tx = y^ty$, y del mismo modo el hecho de que $xy^{-1} \in O_n$ implica que el $xx^t = yy^t$, lo $xx^t + x^tx = yy^t + y^ty$. Por lo tanto la asignación de $\overline{x} \mapsto xx^t + x^tx$ es de al menos bien definidos.

Creo que recuerdo haber oído en alguna parte que esta asignación puede ser demostrado ser surjective. Pero estoy todavía en una pérdida para demostrar que $x,y$ invertible y $xx^t + x^tx = yy^t + y^ty$ implica que el $xy^{-1} \in O_n$.

Answer 1

$G/H$ se puede identificar con cualquier conjunto $X$ en que 1) $G$ actúa transitivamente 2) de tal forma que algunos $x \in X$ tiene estabilizador $H$. Similares afirmaciones son verdaderas si $G, H, X$ son colectores o variedades. Así que para identificar a $GL_n/O_n$ con matrices simétricas deberíamos estar tratando de encontrar una acción de $GL_n$ sobre matrices simétricas con estabilizador $O_n$.

La acción correspondiente es

$$GL_n \ni G \mapsto \left( X \mapsto GXG^{T} \right)$$

donde $X$ es una matriz simétrica. Esta es la noción de cambio de coordenadas para matrices simétricas interpretarse como formas bilineales simétricas. El estabilizador de la identidad es, todas las matrices $G \in GL_n$ tal que $G G^T = I$, que es, precisamente,$O_n$: este debe tener sentido porque el bilineal simétrica correspondiente formulario es el estándar de punto "producto".

A partir de aquí la pregunta que queda es mostrar que esta acción es transitiva; aquí es donde se tiene que $k$ es tanto algebraicamente cerrado y tiene su propio no es igual a $2$, y de aquí también la necesidad de restringir la atención a la degenerada de matrices simétricas o la declaración es falsa. En términos de formas bilineales simétricas de la demanda es que con la anterior hipótesis en $k$, cualquiera de los dos degenerada de tales formas son equivalentes, después de un cambio de coordenadas.