Dado que$f(z) = \sin(z)$ es tal que$z$ es un elemento de los números complejos, ¿el rango de la parte real de$f(z)$ todos los reales? ¿El rango de la parte real de$f(z)$ todos los reales dado que la parte imaginaria es cero?
Lo siento por el formato, estoy en el móvil.
Basándome en mi comentario aquí es una forma de demostrarlo sin necesidad de calcular ninguna solución:
Como$\sin:\mathbb C\rightarrow\mathbb C$ está completo y no es constante, podemos aplicar el teorema de Little Picard y, por lo tanto, tenemos ese$\sin(\mathbb C)=\mathbb C$ o$\sin(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{a\}$ para un$a\in\mathbb C$. Asumamos lo posterior. Debido a que$\sin$ es una función impar, esto significaría que también$-a\notin\sin(\mathbb C)$. Esto solo puede ser cierto si$a=0$ (de lo contrario contradeciríamos a Picard), pero todos sabemos que$\sin(0)=0$ y por lo tanto$\sin(\mathbb C)=\mathbb C$.
La ecuación$\sin z=w$ tiene solución para cada complejo$w$ (en particular real).
De hecho, si$t=e^{iz}$, la ecuación se convierte en $$ \ frac {tt ^ {- 1}} {2i} = w $$, que es $$ t ^ 2-2iwt-1 = 0 $$ Por lo tanto$t=iw+\sqrt{1-w^2}$ (o su inverso). En particular,$0$ nunca es una solución y la ecuación$e^{iz}=t$ ciertamente tiene solución.
$$ \ sin (iz + \ frac {\ pi} {2}) = \ cosh z \\ \ sin (iz - \ frac {\ pi} {2}) = - \ cosh z \\ $$
Así que la imagen de$\frac{\pi}{2}+i\mathbb{R}$ se encarga de obtener$\mathbb{R}_{\geq 1}$. De manera similar, la imagen de$\frac{-\pi}{2}+i\mathbb{R}$ se encarga de obtener$\mathbb{R}_{\leq -1}$. La imagen de$\mathbb{R}$ se encarga de que$[-1,1]$ con$\sin$ se vea como un$\mathbb{R} \to [-1,1]$ habitual.
Utilizando la serie de Taylor, se puede ver que $\sin(ix)=i\sinh(x)$, e $\cos(ix)=\cosh(x)$. Combine esto con la fórmula de la suma de ángulos, y hemos
$$\sin(x+iy) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y).$$
Para que esto sea un número real, necesitamos
$$\cos(x)\sinh(y) = 0$$
$$\cos(x) = 0 \qquad\text{or}\qquad \sinh(y) = 0$$
Para la mano derecha de la posibilidad, la única solución a $\sinh(y)=0$ es $y=0$ . Esto hace que la expresión original $\sin(x+iy)=\sin(x)$ cubrir el intervalo de $[-1,1]$ as $x$ varía.
Para la parte izquierda de la posibilidad, la única solución a $\cos(x)=0$ se $x=\frac\pi2+n\pi$ . Esto hace que $\sin(x)=(-1)^n$, por lo que la expresión original $\sin(x+iy)=(-1)^n\cosh(y)$ cubre el intervalo de $[1,\infty)$ o $(-\infty,-1]$, dependiendo de si $n$ es par o impar.
Por lo tanto el rango de valores reales es
$$(-\infty,-1]\cup[-1,1]\cup[1,\infty) = \mathbb R.$$
De manera más general, la ecuación
$$\sin(z) = c$$
para cualquier $c\in\mathbb C$, siempre puede ser resuelto. Por supuesto, la solución no es única; puede ser expresado con la multi-valores de logaritmo complejo. El uso de $\sin(z)=-i\sinh(iz)$ , e $\text{arsinh}(z)=\sinh^{-1}(z)=\ln(z+\sqrt{z^2+1})$ , produce
$$z = -i\,\text{arsinh}(ic)$$
$$= -i\ln(ic+\sqrt{1-c^2})$$
El logaritmo es definido en todas partes excepto el 0 . Así que la única posibilidad de la no existencia de una solución es
$$ic+\sqrt{1-c^2}=0$$
$$ic=-\sqrt{1-c^2}$$
$$-c^2=1-c^2$$
$$0=1$$
que no es una posibilidad. Por lo tanto la expresión anterior para $z$ siempre funciona.
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