$ 0 < a < b\,\Rightarrow\, b\bmod p\, <\, a\bmod p\ $ para algún primo $p$

Question

Si $\,a < b\,$ son números naturales entonces un primo $\,p\,$ existe tal que $\ a\bmod p\, >\, b\bmod p.$

La tarea parece comprensible, pero no tengo ni idea de cómo demostrar esta afirmación.

Answer 1

Si hay algún primo que divide $b$ y no $a$ que prime $p$ tendrá $a \pmod p \gt 0, b \pmod p = 0$ .

Suponiendo que todos los factores de $a$ también dividir $b$ :

Si $a=2$ hay algo de impar prime $p$ que divide $b-1$ y $a \pmod p = 2 \gt b\pmod p = 1$

Si $a=3$ hay algo de impar prime $p$ que divide $b-2$ o $b-1$ y $a \pmod p = 3 \gt b\pmod p $

Si $a = 4$ Uno de los $b-1, b-3$ debe tener un factor primo $p$ mayor que $3$ ya que no pueden ser ambas potencias de tres. Tenemos $a \pmod p=4 \gt b \pmod p$

Si $a \ge 5$ , considere el intervalo $[b-a+1,b-1]$ Consta de $a-1$ . Como hay menos de $a-1$ primos menos que $a$ uno de estos números tendrá un factor primo $p$ mayor que $a$ . No he justificado esto, pero la idea es que no hay suficientes de ellos sólo puede tener factores más pequeños que $a$ . Tendremos $a \pmod p = a \gt b\pmod p $