Las asignaciones continuas retiran los conjuntos cerrados a los conjuntos cerrados

Question

George F Simmons, la Topología y el Análisis Moderno pg.79 el Problema 4

Deje $X$ e $Y$ ser métrica espacios. Mostrar que en la asignación de $f:X \rightarrow Y$ es continua $\iff$ $f^{-1}\left(G\right)$ está cerrado en $X$ siempre $G$ es cerrado en $Y$.

Puedo demostrar que el problema para abrir sets, y he estado tratando muy duro para cerrado. Sin embargo, parece que me estoy atascado en alguna parte que falta algo obvio. Por favor, no conteste directamente, solo dar una pequeña sugerencia, si es posible.

EDIT: estoy usando la definición de que la $f^{-1}\left(G\right)$ existe sólo cuando $f$ es sobre y si no lo es, a continuación, $f^{−1}\left(G\right)$ es un flojo plazo para $f^{-1}\left(H\right)$ donde $H$ es el rango de $f$ en $G$.

Answer 1

Por lo tanto, puede mostrar que$f$ es continuo si las imágenes previas de los conjuntos abiertos están abiertas. Ahora te vas de allí. Los conjuntos cerrados son complementos de conjuntos abiertos. Que es $f^{-1}[Y\setminus G]$?