Evaluación de los

Question

Tengo problemas para la evaluación de los siguientes límites:

$$\lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m} \frac{m! (2m-k)!}{(m-k)!(2m)!}\frac{x^k}{k!}$$

Lo que causa problemas en particular, es que estoy seguro de cómo comportarse cuando hay una suma que se convierte en una serie. Soy consciente de que tengo necesidad de evaluar todos los límites en el mismo tiempo. Así que, no estoy seguro de si puedo usar cualquier conocimiento acerca de la serie (por ejemplo, el radio de convergencia, que debe darme la relación de la coefficents de la serie, de modo que es probable que pueda escribir el límite) para obtener más información, debido a que sólo será una serie al tomar el límite. El uso de Sterling está en cuestión no era de gran ayuda, ya sea, porque no me figura ninguna manera de organizar adecuadamente los términos.

Necesito mostrar que sólo es $\approx \exp(x/2)$, lo que sería suficiente.

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

$$\frac{1}{(2m)!}\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k} x^k (2m-k)!=\frac{1}{(2m)!}\int_{0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k} x^k z^{2m-k} e^{-z}\,dz $ $ y el RHS se puede escribir como:$$ \frac{1}{(2m)!}\int_{0}^{+\infty} \left(z(x+z)\right)^m e^{-z}\,dz = \frac{e^{x/2}}{(2m)!}\int_{x/2}^{+\infty} \left(z^2-\frac{x^2}{4}\right)^m e^{-z}\,dz $ $ cuyo valor exacto es:

$$ e^{x/2}\cdot \frac{x^{m+\frac{1}{2}}\cdot K_{m+\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{\pi}\cdot(m+1)!}$ $ con$K$ siendo una función de Bessel modificada del segundo tipo .

Answer 2

He publicado una pregunta sobre esta pregunta y encontré que$$\frac{\lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m} \frac{m! (2m-k)!}{(m-k)!(2m)!}\frac{x^k}{k!}}{e^{\frac{x}{2}}} = \lim_{m \to \infty} \sqrt{\pi m}\Rightarrow\\ \lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m} \frac{m! (2m-k)!}{(m-k)!(2m)!}\frac{x^k}{k!} \approx \sqrt{\pi m} \cdot e^{\frac{x}{2}}$ $ sin el uso de las funciones de Bessel .