¿Por qué$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1}$ no es un número entero?

Question

Dejemos$S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1}$, ¿cómo podemos probar con razonamiento matemático elemental que$S$ no es un número entero? ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia: Recordar la (primaria) prueba de que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$ no es un número entero (por $n>1$):

Deje $2^k$ ser la mayor potencia de 2 que es menor que o igual a $n$. Considere la posibilidad de hacer (la más pequeña) común denominador de la forma $2^k L$ donde $L$ es impar. El numerador de cada período será igual, excepto por el término de $\frac{1}{2^k}$, lo que contribuye a un extraño término $L$. Por lo tanto, el numerador es impar y el denominador es aún. Esto no puede ser un número entero.

Sugerencia: Para finitos suma de impares recíprocos, muestran que cuando hacemos una (la más pequeña) común denominador, el numerador no es múltiplo de $3$.

Solución: Deje $3^k$ ser la potencia más grande de 3 que es menor que o igual a $n$. Considere la posibilidad de hacer común denominador de la forma $3^k L$ donde $L$ no es un múltiplo de 3. El numerador de cada período será un múltiplo de 3, excepto para los términos de la forma $\frac{ 1}{ a3^k}$ para algunos entero $a$.
Utilice el hecho de que $a=2$ no aparece en la secuencia, ya que incluso es. También, por la definición de $3^k$, no más alto que otros múltiples pueden aparecer. Por lo tanto, hay sólo 1 término que contribuye no múltiplo de 3. Por lo tanto, el numerador no es múltiplo de 3.

Answer 2

Deje $p=2k'+1$ ser el más grande impar número primo menor o igual a $2n+1$. Ahora considere la suma:

$$\frac13 + \frac15 + \frac17 + \cdots + \frac{1}{2k'-1} + \frac{1}{p} + \frac{1}{2k'+3} + \cdots + \frac{1}{2n+1}.$$

Podemos encontrar un común denominador de esta fracción por tomar el producto:

$$3\cdot5\cdots (2k'-1) \cdot p \cdot (2k' +3) \cdots (2n+1) = M.$$

En el numerador tenemos una suma de varios términos:

$$\frac{M}{3} + \frac{M}{5} + \cdots + \frac{M}{p} + \cdots + \frac{M}{(2n+1)}.$$

Cada término es un número entero.

Me dicen que todos pero $\frac{M}{p}$ es divisible por $p$. Esto significaría que el numerador no es divisible por $p$ y es congruente a $\frac{M}{p}$ modulo $p$. Desde $p$ aparece en el denominador, esta suma no puede ser un número entero.

Supongamos que $\frac{M}{p}$ era de hecho divisible por $p$. Esto significa que no debe haber tenido otro múltiplo de $p$ aparecen en uno de nuestros denominadores. La próxima válida de que el término se $3p$. Sin embargo, Bertrand postulado nos dice que para cualquier número natural $n$ tenemos un primer entre el $n$ e $2n$. Esto nos dice que habría sido una nueva más grande entre el primer $p$ e $3p$. Lo cual es una contradicción.

Answer 3

Puedes escribir

PS

Ahora, el mayor factor primo menor o igual que$$S=\frac{\sum_j\prod_{k\neq j}(2k+1)}{\prod (2k+1)}$ divide el denominador y todos menos uno de los sumos en el numerador, por lo tanto, no la suma.