Una secuencia finita $a_1, a_2, ..., a_n$ se llama $p$-equilibrado si cualquier suma de la forma $a_k+a_{k+p} + a_{k+2p}+...$ es el mismo para cualquier $k = 1, 2, 3, ..., p$. For instance the sequence $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $a_4 = 4$, $a_5 = 3$, $a_6 = 2$ is a $3$-balanced because $a_1 + a_4= a_2 + a_5 = a_3+a_6 = 5$. Prove that if a sequence with $50$ members is $p$-balanced for $p=3,5,7,11,13, 17$, entonces todos sus miembros son iguales a cero.
Alguien me da los dos sugerencias :
Sugerencia 1: Vamos a la generación de la función $f(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i$. Si $a_1,\dots,a_n$ es $p$-equilibrada, a continuación,$f(e^{2\pi i/p}) = 0$.
Sugerencia 2: $(3-1) + (5-1) + (7-1) + (11-1) + (13-1) + (17-1) = 50$.
Sugerencia 3 : Deje $z_k = e^{2k\pi i/p}$ . A continuación,$z_k^{j+p} = z_k^j$ . Por lo tanto, el $p$-balancedness implica $f(z_k) = S\sum_{j=1}^p z_k^j = 0$
Aquí es, probablemente, $e^{2k\pi i/(p+1)}$ en lugar de $e^{2k\pi i/p}$ causa $k = 1, 2 ,..., p$.
Alguien podría registrar la solución completa? Pasé mucho tiempo haciendo esto, y sin embargo todavía no he conseguido obtener un justificando la respuesta a esta pregunta. Me las arreglé para conseguir una respuesta parcial, pero no hay una respuesta global.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a dejar de $a_0=0$ leve simplificación. Esto no afectará a ninguna de las pruebas. Como en su pista, vamos $$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n $$ ser el representante de la generación de la función. Ahora supongamos $z_p$ es una primitiva $p$th raíz de la unidad, $z_p=e^{2\pi ik/p}$ (para algunos $1\le k \le p-1$), para los que la secuencia es $p$-equilibrado. Supongamos también que $$a_0+a_p+\cdots=a_1+a_{p+1}+\cdots = \cdots = a_{p-1}+a_{2p-1}+\cdots = S$$ para algunos $S$. Entonces $$ \begin{align} f(z_p)&=(a_0+a_p+\cdots)+(a_1+a_{p+1}+\cdots)z_p+\cdots + \cdots + (a_{p-1}+a_{2p-1}+\cdots)z_p^{p-1}\\ &=S+Sz_p+\cdots + Sz_p^{p-1}\\&=S(1+z_p+\cdots + z_p^{p-1})\\&=0 \end{align} $$ Ahora para un determinado $p$ hay $p-1$ raíces primitivas de la unidad, por lo que el polinomio $f$ tiene al menos $$ (3-1)+(5-1)+(7-1)+(11-1)+(13-1)+(17-1)=50 $$ ceros en estas raíces de la unidad. Pero $0$ también es una raíz de $f$ desde $a_0=0$, lo $f$ ha $51$ ceros y el grado en que la mayoría de $50$, lo que implica que es el polinomio cero.
