Mostrar que $A[X]/(aX+b)$ es una parte integral de dominio

Question

Deje $A$ integrante de dominio, $a$$b \in A-\{0\}$, y deje $B = A[X]/(aX+b)$. Muestran que, si $Aa \cap Ab=Aab$, $B$ es una parte integral de dominio.

Mi intento de prueba (siguiente pista). Denotar por $K$ el campo de fracciones de $A$. Deje $\phi: A[X] \to K$,$\phi(X)=-b/a$$\phi(y)=y, y \in A$.

A continuación,$\phi(aX+b)=-b+b=0$. Si $p(X) \in A[X]$$p(X) \not \in (aX+b)$, luego $p(X)=q(X)(aX+b)+r$, $r \in A$. Por lo tanto, $\phi(p(X))=\phi(r)=r$, lo $p(X) \in \ker(\phi) \iff r=0 \iff p(X) \in (aX+b)$.

Por lo tanto $\ker(\phi)=(aX+b)$; por el primer teorema de isomorfismo, $A[X]/(aX+b)$ debe ser isomorfo a Im$(\phi)$. En conclusión $B$ es isomorfo a un subcuerpo de $K$, por lo que es una integral de dominio.

El problema es que yo no sé de dónde he utilizado la condición de $Aa \cap Ab=Aab$. Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Esto es suficiente para demostrar $\,f = ax+b\,$ es el primer en $\,A[x],\,$, lo que sigue a continuación.

Teorema $ $ Supongamos que $\,D\,$ es un dominio, y $\,0\ne a,b \in D\,$ satisfacer $\,a,b\mid c\, \color{#c00}\Rightarrow\, ab\mid c\,$ todos los $\,c \in D.\,$ $\, f = ax+b\,$ es el primer en $\,D[x].$

Prueba de $\ $ Asumen $\,f\mid gg'\,$ $\,g,g'\! \in D[x].\,$ $\,f = a(x + \frac{b}a)= a\bar f$ en $\,\bar D = D[a^{-1}]\,$ donde $\,\bar f\,$ es primo, por lo tanto $\,\bar f\mid g\,$ o $\,\bar f\mid g'\,;\,$ wlog $\,\bar f\mid g,\,$ $\, g = \bar f \bar h,\ \bar h \in \bar D[x].\, $ Escala por $a^n$ lo suficientemente grande como $\,n\,$ rendimientos $\, a^n g = f h,\ h\in D[x],\,$ $\,f\mid a^n g\,\Rightarrow\,f\mid g,\,$ por iteración siguiente Lema. Por lo tanto $\,f\,$ primer $\ \ $ QED

Lema $\,\ f\mid ag\,\Rightarrow\,f\mid(f\!-\!ax)g=bg\,\Rightarrow\,f\mid ag,bg\,\Rightarrow\,a,b\mid abg/f\,\color{#c00}\Rightarrow\,ab\mid abg/f\,\Rightarrow\,f\mid g$

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Comentario $ $ Si localizaciones como $\,D[a^{-1}]\,\cong\, D[\,t]/(at\!-\!1)\,$ no están familiarizados entonces podemos eliminar por lugar de usar el no-monic forma de la división de polinomios algoritmo, es decir, $\, a^n g = q\, f + r\,$ donde $\,a\,$ es el coeficiente de $\,f,\,$ que tiene una simple prueba inductiva. Me lo presentó aquí en el local del formulario para mostrar cómo este Teorema generaliza a localizaciones. Los resultados no generalizar de la siguiente manera. Anteriormente se utilizó $\, S^{-1}D = D[a^{-1}],\,$, mientras que no hemos utilizado el $\,S^{-1}D = K = $ total de la fracción de campo.

Teorema $\,\ f\,$ es el primer en $\,D[x] \!\iff\! f\,$ es el primer en $\,S^{-1} D[x]\,$ $\,f\,$ $S$- superprimitive.

donde $\,f\,$ $\,S$- superprimitive si satisface una de las siguientes propiedades equivalentes

$(1)\quad c\mid gf\,\Rightarrow\, c\mid g\quad$ todos los $\ c\in S,\ g\in D[x]$

$(2)\quad c\mid df\,\Rightarrow\, c\mid d\quad$ todos los $\ c\in S,\ d\in D$

$(3)\quad f\mid g\,$ $\,S^{-1} D[x]\,\Rightarrow\, f\mid g\,$ $\,D[x]\quad $ todos los $\, g\in D[x]$

$(4)\quad f\mid cg\,\Rightarrow\,f\mid g\quad$ todos los $\ c\in S,\ g\in D[x]$

$(5)\quad gf\in D[x]\,\Rightarrow\, g \in D[x]\quad$ todos los $\,g\in S^{-1}D[x]$

Answer 2

Usted escribe:

Si $p(X) \in A[X]$$p[X] \not \in (aX+b)$,$p(X)=q(X)(aX+b)+r, r \in A$.

Sin embargo, ¿cómo se justifican? Uno no se puede dividir por un polinomio en una integral de dominio en general; se necesita el principal coeficiente es invertible (o alguna otra hipótesis).

Así, vamos a trabajar sobre el cociente de campo lugar. Podemos definir el $\phi$ bien $K[x]$ y entonces tenemos que el núcleo para el mapa definido en $K[X]$ es el ideal generado por a$aX + b$$K[X]$.

Ahora, restringir el mapa a $A[X]$. A continuación, el núcleo es la intersección de a $A[X]$ con el ideal generado por a$aX+b$$K[X]$. En general este no es el mismo que el ideal generado por a$aX+ b$$A[X]$, pero aquí usted puede usar su suposición.