probabilidad de que al menos una persona tenga una gema del tipo $n$ etc.

Question

(Pregunta sobre la probabilidad)

Tengo un número de $N$ tipos de gemas que he repartido a $M$ personas, utilizando alguna función de probabilidad aleatoria para cada persona. Así: $$ \begin{align} P_1^1 + P_2^1 + P_3^1 + P_4^1 + \dotsb + P_n^1 &= 1 \\ P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 + P_4^2 + \dotsb + P_n^2 &= 1 \\ P_1^3 + P_2^3 + P_3^3 + P_4^3 + \dotsb + P_n^3 &= 1 \\ P_1^4 + P_2^4 + P_3^4 + P_4^4 + \dotsb + P_n^4 &= 1 \\ P_1^5 + P_2^5 + P_3^5 + P_4^5 + \dotsb + P_n^5 &= 1 \\ \vdots & \\ P_1^m + P_2^m + P_3^m + P_4^m + \dotsb + P_n^m &= 1 \end{align} $$

Así, cada persona tiene un tipo de gema con una determinada probabilidad (cada persona sólo puede tener un tipo de gema).

Un ejemplo para $N = 3$ , $M = 3$ sería (cada fila es una persona diferente, cada columna una gema de tipo diferente):

$0.3 ~0.5~ 0.2$
$0.8 ~0.1~ 0.1$
$0.4 ~0.3~ 0.3$

¿Existe una forma de averiguar la probabilidad de que al menos una persona tenga una gema del tipo $n$ al menos una persona que tenga una gema de tipo $n-1$ pero ninguno que tenga uno de $n$ al menos una persona que tenga una gema de tipo $n-2$ pero ninguno tiene una gema del tipo $(n-1)$ y $n$ etc., sin enumerar todas las probabilidades conjuntas ( $N^M$ combinaciones posibles) ?

Answer 1

Para responder si al menos una persona tiene una gema del tipo $n$ , sólo hay que tomar el producto de las probabilidades de que cada persona haga no elija el tipo $n$ . Entonces uno menos ese producto es su respuesta.

Por ejemplo, en su matriz anterior es $1- 0.8 \times 0.9 \times 0.7 = 0.496$ .

Ahora que tienes esto, puedes aprovecharlo para responder a la siguiente pregunta que has planteado: hay un $0.504$ probabilidad de que nadie tuviera un tipo $n$ gema, así que toma los productos sobre las sumas de cada $n-2$ entradas de cada fila y calcular $0.504$ menos este producto. Etc.

Si buscas la eficiencia algorítmica, puedes evitar tener que volver a calcular las sumas y los productos completos cada vez tabulando los valores que sabes que vas a necesitar más tarde cuando los calcules por primera vez para obtener la respuesta inicial anterior. Deja un comentario si no tienes claro cómo hacer esto y puedo explicarlo. Si lo haces bien, el algoritmo resultante debería ser $O(MN)$ .